給定一個群 , 為 的子集,則有 為 的子群若且唯若 。
若 為 的子群可表示為 ,則以上表述可表示為:
證明:
:
因為 ,對於任意 , ,另有 ,由於 為一個群,所以 。
:
假設 ,令 ,可得 ,即 存在單位元。
對於 ,令 , ,可得 ,即對於任意 ,存在 。
對於 ,令 , ,可得 ,即對於任意 , 。
因此 成立。
- 且存在一個映射 ,且對每個 有 。
- ,其中 為 的單位元素。
- 若 ,則 為會使得 之 中的元素,有 。
- 若 .但 則不一定,例如2和3是在 與 的聯集中,但其總和5則不是。
- 若S是G的子集,則存在一個包括S的最小子群,其可以由取得所有包括S的子群之交集來找出;此一最小子群被標記為<S>且稱為由S產生的子群。G內的一個元素在<S>內若且唯若其為S內之元素的有限乘積且其逆元。
- 群G內的每一個元素a都會產生一個循環子群<a>。若<a>同構於某一正整數n之Z/nZ,則n會是最小個會使得an = e的正整數,且n被稱為是a的「階」。若<a>同構於Z,則a會被稱有「無限階」。
- 任一給定的群之子群都會形成一個在內含下的完全格,稱之為子群格。(其最大下界為一般的集合論交集,而其一群子群的最小上界所此些子群之集合論聯集「所產生」的子群。)若e為G的單位元素,則其當然群{e}會是群G的最小子群,而其最大子群則會是群G本身。
和以8為模的加法為二元運算的群(此群亦同時是阿貝爾群)。
其凱萊表為
+
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0
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4
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2
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6
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1
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3
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5
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7
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0
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0 |
4 |
2 |
6 |
1 |
3 |
5 |
7
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4
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4 |
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2 |
5 |
7 |
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3
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2
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2 |
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6
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6 |
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0 |
4 |
7 |
1 |
3 |
5
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5 |
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3 |
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5 |
1 |
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0 |
2 |
4
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7
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7 |
3 |
1 |
5 |
0 |
2 |
4 |
6
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此凱萊表是故意不用常規的排列法來表明此群有著一對非當然子群: 和 ,其中 亦是 的子群。 的凱萊表是 的凱萊表之左上半部。 群是循環的,而其子群亦為。一般而言,循環群的子群亦為循環的。
如果 ,則 是一個子群
我們設 一個群G的子集,包含了所有與群G中其他元素可交換的元素,也就是說
,此集合為群G的子群。我們稱此子群為群的中心,記作 。
設A為G的任意子集,則A在G中的中心化子為集合 ,此集合的定義為:
,此集合也是群G的子群。
至於A在G中的正規化子則為集合 ,此集合定義為:
,此集合也是群G的子群。
給定一子群H和G內的某一元素a,則可定義出一個左陪集 aH={ah;h∈H}。因為a為可逆的,由φ(h) = ah給出之映射φ : H → aH為一個雙射。更甚地,每一個G內的元素都包含在恰好一個H的左陪集中;其左陪集為對應於一等價關係的等價類,其等價關係a1 ~ a2若且唯若a1−1a2會在H內。H的左陪集之數目稱之為H在G內的「指數」,並標記為[G:H]。
拉格朗日定理敘述著對一個有限群G和一個子群H而言,
-
其中o(G)和o(H)分別為G和H的階。特別地是,每一個G的子群的階(和每一個G內元素的階)都必須為o(G)的因數。
右陪集為相類比之定義:Ha = {ha : h∈H}。其亦有對應於一適當之等價關係的等價類,且其個數亦會相等於[G:H]。
若對於每個在G內的a,aH=Ha,則H稱之為正規子群。每一個指數2的子群皆為正規的:左陪集和右陪集都簡單地為此一子群和其補集。