假設 是一個 (group),若 的一個非空子集(subset)且同時 與相同的二元運算 亦構成一個群,則 稱為 的一個 子群(subgroup)。參閱群論

群论


更精確地來說,若運算 限制也是個在 上的群運算,则称 子群

一個群 純子群 是指一個子群 ,其為 純子集(即 )。任一個群總會有兩個子群 當然群(為只包含單位元素的子群,{e})以及 群本身。若 的子群,則 有時會被稱為 的「母群」。

相同的定義可以應用在更廣義的範圍內,當 G 為一任意的半群,但此一條目中只處理群的子群而已。群G 有時會被標記成有序對(G,*),通常用以強調其運算 G 帶有多重的代數或其他結構。

在下面的文章中,會使用省略掉 的約定,並將乘積a*b寫成 ab

子群的檢驗

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給定一個群   的子集,則有  的子群若且唯若 

  的子群可表示為 ,則以上表述可表示為:

 

證明:

 

因為 ,對於任意  ,另有 ,由於 為一個群,所以 

 

假設 ,令 ,可得 ,即 存在單位元。

對於 ,令  ,可得 ,即對於任意 ,存在 

對於 ,令  ,可得 ,即對於任意  

因此 成立。

子群的基本性質

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  •     且存在一個映射 ,且對每個   
  •     ,其中   的單位元素。
  •  ,則 為會使得   中的元素,有 
  •   .但 則不一定,例如2和3是在  的聯集中,但其總和5則不是。
  • SG的子集,則存在一個包括S的最小子群,其可以由取得所有包括S的子群之交集來找出;此一最小子群被標記為<S>且稱為S產生的子群G內的一個元素在<S>內若且唯若其為S內之元素的有限乘積且其逆元。
  • G內的每一個元素a都會產生一個循環子群<a>。若<a>同構於某一正整數nZ/nZ,則n會是最小個會使得an = e的正整數,且n被稱為是a的「階」。若<a>同構於Z,則a會被稱有「無限階」。
  • 任一給定的群之子群都會形成一個在內含下的完全格,稱之為子群格。(其最大下界為一般的集合論交集,而其一群子群的最小上界所此些子群之集合論聯集「所產生」的子群。)若eG的單位元素,則其當然群{e}會是群G最小子群,而其最大子群則會是群G本身。

例子

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1. 有限群

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 以8為模的加法為二元運算的群(此群亦同時是阿貝爾群)。 其凱萊表

+ 0 4 2 6 1 3 5 7
0 0 4 2 6 1 3 5 7
4 4 0 6 2 5 7 1 3
2 2 6 4 0 3 5 7 1
6 6 2 0 4 7 1 3 5
1 1 5 3 7 2 4 6 0
3 3 7 5 1 4 6 0 2
5 5 1 7 3 6 0 2 4
7 7 3 1 5 0 2 4 6

此凱萊表是故意不用常規的排列法來表明此群有著一對非當然子群  ,其中   亦是   的子群。  的凱萊表是   的凱萊表之左上半部。   群是循環的,而其子群亦為。一般而言,循環群的子群亦為循環的。

2. 二面體群

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如果 ,則  是一個子群

3.群的中心,中心化子,正規化子

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我們設 一個群G的子集,包含了所有與群G中其他元素可交換的元素,也就是說

 ,此集合為群G的子群。我們稱此子群為群的中心,記作 

設A為G的任意子集,則A在G中的中心化子為集合 ,此集合的定義為:

 ,此集合也是群G的子群。

至於A在G中的正規化子則為集合 ,此集合定義為:

 ,此集合也是群G的子群。

陪集和拉格朗日定理

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給定一子群HG內的某一元素a,則可定義出一個陪集 aH={ah;hH}。因為a為可逆的,由φ(h) = ah給出之映射φ : HaH為一個雙射。更甚地,每一個G內的元素都包含在恰好一個H的左陪集中;其左陪集為對應於一等價關係的等價類,其等價關係a1 ~ a2若且唯若a1−1a2會在H內。H的左陪集之數目稱之為HG內的「指數」,並標記為[G:H]。

拉格朗日定理敘述著對一個有限群G和一個子群H而言,

 

其中o(G)和o(H)分別為GH。特別地是,每一個G的子群的階(和每一個G內元素的階)都必須為o(G)的因數右陪集為相類比之定義:Ha = {ha : hH}。其亦有對應於一適當之等價關係的等價類,且其個數亦會相等於[G:H]。

若對於每個在G內的aaH=Ha,則H稱之為正規子群。每一個指數2的子群皆為正規的:左陪集和右陪集都簡單地為此一子群和其補集。

另見

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