辛群

在数学中，辛群可以指涉两类不同但关系密切的群。在本条目中，我们分别称之为Sp(2n,F)与Sp(n)。后者有时也被称作紧致辛群以资区别。许多作者偏好不同的记法，通常是差个二的倍数。本条目采用的记法与矩阵的大小相称。

Sp(2n, F)

域F上次数为2n的辛群是由2n阶辛矩阵在矩阵乘法下构成的群，记为Sp(2n,F)。由于辛矩阵之行列式恒等于一，此群是SL(2n,F)的子群。

抽象而言，辛群可定义为F上一个2n维向量空间上保存一个非退化、斜对称双线性形的所有可逆线性变换。带有这种双线性形的向量空间称为辛向量空间。一个辛向量空间V产生的辛群记为Sp(V)。

当n=1，有Sp(2,F)=SL(2,F)，当n>1时，Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。

通常将域F取为实数域$\mathbb {R}$、复数域$\mathbb {C}$或非阿基米德局部域，如p进数域$\mathbb {Q} _{p}$。此时辛群Sp(2n,F)是维度等于$n(2n+1)$的连通代数群。$\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )$是单连通的，而$\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )$的基本群则同构于$\mathbb {Z}$。

$\mathrm {Sp} (2n,F)$的李代数可以刻划为满足下列条件的2n阶方阵$A$：

$\Omega A+A^{T}\Omega =0$

其中$A^{T}$表示$A$的转置矩阵，而$\Omega$是下述反对称矩阵

$\Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}}$

Sp(n)

紧辛群 $\mathrm {Sp} (n)$ 定义为 $\mathrm {H} ^{n}$（$\mathbb {H}$表四元数）上保持标准埃尔米特形式

$\langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}$

之可逆线性变换。换言之，$\mathrm {Sp} (n)$ 即四元数上的酉群$\mathrm {U} (n,\mathbb {H} )$。有时此群也被称为超酉群。$\mathrm {Sp} (1)$ 即单位四元数构成之群，拓扑上同胚于三维球 $\mathbb {S} ^{3}$。

$\mathrm {Sp} (n)$ 并不同构于之前定义的 $\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )$。下节将解释其间的联系。

$\mathrm {Sp} (n)$ 是 $n(2n+1)$ 维之紧致、连通、单连通实李群，并满足

$Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb {C} )$

其李代数由满足下述关系的 n 阶四元数矩阵构成

$A+A^{\dagger }=0$

其中 $A^{\dagger }$ 是 $A$ 的共轭转置（在此取四元数之共轭运算）。李括积由矩阵之交换子给出。

紧辛群 $\mathrm {Sp} (n)$ 有时称为酉辛群，记为 $\mathrm {USp} (2n)$

辛群之间的关系

以上定义之$\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )$与$\mathrm {Sp} (n)$之李代数在复化后给出相同的单李代数。此李代数记作$C_{n}$。此李代数也就是复李群$\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )$之李代数，记作$\mathrm {sp} (2n,\mathbb {C} )$。它有两个不同的实形式：

1. 紧致形式$\mathrm {sp} (n)$，即$\mathrm {Sp} (n)$之李代数。
2. 正规形式$\mathrm {sp} (2n,\mathbb {R} )$，即$\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )$。

辛群之间的关系

	矩阵	李群	dim/R	dim/C	紧致	π1
Sp(2n, R)	R	实	n(2n + 1)	–	否	Z
Sp(2n, C)	C	复	2n(2n + 1)	n(2n + 1)	否	1
Sp(n)	H	实	n(2n + 1)	–	是	1

参见

• 正交群
• 酉群
• 射影酉群
• 辛流形、辛矩阵、辛向量空间、辛符号
• 哈密顿力学