打开主菜单

数学分析中,巴拿赫极限(英語:Banach limit)指的是定义在全体有界序列组成的巴拿赫空间上,对每个中的序列和复数满足:

  1. (线性);
  2. 若对每个,则(正定性);
  3. ,其中移位算子,定义为(移位不变性);
  4. 收敛序列,则

连续线性泛函

因此,是对连续线性泛函的延拓,其中中收敛到某个极限的全体序列组成的复向量空间。进而可以视为发散级数论中的一个可和法

换句话说,巴拿赫极限是对通常意义下极限概念的延拓,并且是线性、移位不变、正定的。可以对某个序列找到两个巴拿赫极限,使得各自作用下得到两个不同的值,我们称这类序列的巴拿赫极限不是唯一确定的。

作为上述性质的一个推论,每个实值巴拿赫极限也满足:

巴拿赫极限的存在性通常需要应用哈恩-巴拿赫定理证明(分析学方法)[1],也可以应用超滤子(这种方法在集合论的讨论中出现得更频繁)[2]。这些证明都一定会用到选择公理(即所谓的非构造证明)。

几乎收敛编辑

某些不收敛的级数在巴拿赫极限的作用下是唯一确定的。 例如 ,注意到 是常序列,并且

 

因此对每个巴拿赫极限而言,它以 为极限。

我们将每个巴拿赫极限 下有相同的 的有界序列 称为几乎收敛的。

Ba 空间编辑

 中给定收敛序列 ,如果考虑对偶  通常的极限并不由 的某个元素给出。实际上  连续对偶空间(对偶巴拿赫空间);反过来, 虽然能诱导出 中的连续线性泛函,但并不是全部。每个 上的巴拿赫极限都是 的对偶巴拿赫空间中的一个元素,但不在 中。 的对偶叫做ba空间,由一切自然数集子集的σ-代数上有限可加(符号)测度组成,或者等价地说是由每个自然数集的Stone–Čech紧化上的波莱尔(符号)测度组成。

外部链接编辑

参考编辑

  1. ^ Conway, Theorem III.7.1
  2. ^ Balcar-Štěpánek, 8.34