斯通-切赫緊化

(重定向自斯通-切赫緊化

數學點集拓撲學中,斯通-切赫緊化(Stone–Čech compactification)是構造出從拓撲空間X緊緻豪斯多夫空間βX的泛映射的技巧。拓撲空間X的斯通-切赫緊化βX是由X「生成」的最大的緊緻豪斯多夫空間,意即任何從X到緊緻豪斯多夫空間的映射,都可以經由βX分解。若X吉洪諾夫空間,則從X到其在βX中的像的映射是同胚,因此可以想像X是在βX中的稠密子空間。對一般拓撲空間,從X到βX的映射未必是單射

證明任何拓撲空間都有斯通-切赫緊化,需用到選擇公理的一個形式。即使X是頗簡單的空間,βX通常也是很難以明白具體地描述。譬如βN \ N非空的各種證明(N自然數集合),都不會直接描述出βN \ N內的任何一點。

泛性質和函子性编辑

βX是一個緊緻豪斯多夫空間,連同一個從X到βX的連續映射。βX有以下的泛性質:任何連續映射f: XK,其中K是緊緻豪斯多夫空間,可以唯一地提升到連續映射 βf: βXK.

 

βX的這個泛性質,加上βX是包含X的緊緻豪斯多夫空間,就完全地刻畫了βX同胚的差別不計(up to homeomorphism)。

有些作者會加上假設X吉洪諾夫空間(或甚至是局部緊豪斯多夫空間),原因為:

  • X到在βX中的像的映射是同胚,當且僅當X是吉洪諾夫的。
  • X到在βX中的像的映射是同胚到一個子空間,當且僅當X是局部緊豪斯多夫的。

更一般的拓撲空間X上,都可以斯通-切赫緊化,但映射X → βX未必是同胚到X的像(有時甚至不是單射)。

上述的擴張性使β成為一個從Top(拓撲空間的範疇)到CHaus(緊豪斯多夫空間的範疇)的函子,設U是從 CHausTop包含函子,那麼從βXK的映射(KCHaus內)一一對應到從XUK的映射(將映射限制到X,並使用βX的泛性質),即是

Hom(βX, K) = Hom(X, UK)

故β是U左伴隨函子。因此CHausTop反射子範疇,反射函子為β。

構造编辑

用單位區間構造编辑

構造βX的一個方法是考慮映射

 
 

其中C是所有從X到[0, 1]的連續映射的集合。若賦予[0, 1]C積拓撲,那麼這映射是連續的。因為[0,1]是緊緻集,由吉洪諾夫定理(與選擇公理等價)可知[0, 1]C也是緊緻集。因此X在[0, 1]C中的像的閉包X的一個緊化。

這個緊化就是斯通-切赫緊化。要證明這個結果,只要檢驗這個緊化符合應有的泛性質。首先檢驗K = [0, 1],映射f: X → [0, 1]的擴張,就是從[0, 1]Cf座標上的投射。對一般的K,注意到K完全正則空間,所以能嵌入到一個立體(即形為[0, 1]I的積空間)中。現在用前述的結果擴張每個座標函數,然後取這些擴張的積。

用超濾子構造编辑

X是離散空間,可以構造βXX的所有超濾子的集合,並賦予一個拓撲,稱為斯通拓撲X的各元素對應到各主要超濾子。

要驗證泛性質,設f: XKK是緊緻豪斯多夫空間,FX上的一個超濾子。那麼可得在K上的超濾子f(F)。因為K是緊緻的,這個超濾子存在極限,又因為K是豪斯多夫的,故這個極限唯一,設為x。定義βf(F) = x。可以證明這是f的連續擴張。

參考编辑

外部連結编辑