在數學上,特別是拓樸學中,開集是一個將實數上的開區間的概念進行抽象化後的一個抽象物件。一個簡單的例子便是在中,我們可以簡單的將中的開集定義成是:那些中集合,集合中的每一個點都有一個中的球包含著並同時被包含於集合內。(或者是說,一個集合是開集,如果這個集合沒有包含著它的邊界點)。然而,一般來說,一個開集也可以很抽象:一串集合列裡面集合都能被稱作是開集,只要這串集合列滿足以下性質: (1) 任意數量的集合的聯集還是在這個集合列中。(2) 有限數量的集合的交集還是在這個集合列中。(3) 所有集合所在的空間跟空集都要在這個集合列之中。上述的這些條件看起來非常寬鬆,以至於我們有很好的靈活性去選取開集。

開集的概念提供了一個基礎的方式去描述點與點之間的「靠近程度」而不需要仰賴於距離的定義。

一旦我們找定好了開集,我們便可以開始應用開集去定義關於連續,連通還有緊緻等性質的概念了。

满足的点着蓝色。满足的点着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

定義编辑

可以按不同的一般性程度來形式化開集的概念。

函数分析编辑

Rn中点集是开集,如果在这个集合的所有点P都是内部点

欧几里得空间编辑

 維歐式空間 的子集 是开集,如果给定任何在 中的點 ,存在一个实数 使得,如果给定任何 中点 ,有著從 到它的歐式距離小於 ,则 也属于 。等价的说:如果所有 中的点有包含在 中的邻域,則 是开集。

賦距空间编辑

賦距空间 的子集 是开集,如果给定任何 中的點 ,存在一个实数 使得,如果给定任何 中的点 ,有 ,则 也屬於 

等价的说:如果所有 中的点有包含在 中的邻域, 是开集。

这推廣了欧几里得空间的例子,因为带有欧几里得距离的欧几里得空间也是度量空间。

拓扑空间编辑

拓扑空间中,开集是一項基础性的概念。你可以從任意集合 出發,再選取 的某個特定的子集族 ,使 中的集合都满足作為開集應有的每一性质。这樣的子集族 被叫做 上的“拓樸”,而这个集合族的成员被叫做拓扑空间  的开集。

更精確地說:給定集合 ,給予一個集合串 里面的每一個元素都是 中的子集。這個集合串 裡面的元素可以被稱為開集當他們滿足以下性質:

  •   而且   (  以及  都是開集)
  •   然後有  (開集的任意聯集都是開集)
  •   然後有   (開集的任意有限交集都是開集)

开集的拓扑定义推广了度量空间定义:如果你從一个度量空间出發并如上述般定义开集,则所有开集的集合族将形成在这个度量空间上的拓扑。因此自然地,任何度量空间都是拓扑空间。(但有不是度量空间的拓扑空间。)

性质编辑

  1. 空集是開集(注意空集也是閉集)。
  2. 定义拓扑的集合X既开又闭。
  3. 任意个开集的并集是开集。[註 1]
  4. 有限个开集的交集是开集。[註 2]

例子编辑

  • 度量空间 中,以点 为中心, 为半径的球体 为开集,任意的开集 包含以 为中心,充分小的 为半径的球体 
  • 流形中的开集为子流形

用处编辑

开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构(处理邻近性收敛此類概念,比如度量空间一致空间)時,都會用到开集的概念。

拓扑空间X的每個子集A都包含至少一个(可能为空)开集;最大的这种开集被叫做A内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间XY,从XY函数f连续的,如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射,如果在X中的所有开集的Y中的开集。

实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。

相关条目编辑

注释编辑

  1. ^ 开集等价于每个点都有一个邻域包含在该集合内。因此任意个开集的并集仍然保持上述性质。
  2. ^ 直观上,开集是不包含其边界的集合。而无限多开集的交集有可能收敛到包含边界的闭集。例如,三维欧式空间上以原点为中心的开球,半径为1.1、1.01、1.001、...,其交集为半径为1.0的闭球。