數學上,特別是拓樸學中,開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合

通常微積分的課程中,會借助歐式空間距離去描述數列極限;直觀上,當 越來越大時數列 要多靠近有多靠近的時,就說 是數列 的極限,但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」,開集就是來自於" 點附近"這樣的直觀概念。類似的,函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。

满足的点着蓝色。满足的点着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

定義编辑

歐式空間编辑

 代表   維歐式空間, 而   中的任兩點距離(歐式距離)為

 

  ,且對所有   ,存在一个   ,使得對所有   ,只要   就有   ,那麼就說子集  中的一個開集。也就是說,開集   裡的所有點   都有一個以   為中心的開球完全包含於  

賦距空间编辑

歐式空間的開集很容易地推廣到賦距空间 中:

   的子集,若對所有   中的點  ,存在   使得對所有 中的點  ,只要   ,则   也屬於 ,或以正式的邏輯符號表述為

 

則稱    的一個開集。也就是說,如果所有   中的点都有完全包含於  開球 便是开集。

這的確推廣了歐式空間部分的定義,因為歐式距離和歐式空間本身就組成了一個賦距空間。

賦距空間的開集還會有以下的性質:

定理:

  為賦距空間,則

(1)    也是   的開集。

(2) 若    都是   的開集,則   也是   的開集。

(3)     的一個子集族),若所有   都是開集,則   也是   的開集。(也就是說,任意數量開集的聯集也是開集)

關於上面性質的證明,(1)是非常顯然的;(2)只需取每一點比較小的開球即可[註 1];(3)根據聯集的定義也是非常顯然的[註 2]

事實上這些性質這就是拓扑空间定義的動機。

拓撲空間编辑

開集是拓扑空间定義的基石;也就是從任意母集合   出發,再選取   的特定的子集族   ,規定   中的集合就是開集,这樣的子集族   被叫做   上的拓樸

  為集合,若   滿足

(1)  

(2) 若   

(3)   ,則   。(也就是說,任意數量開集的聯集也是開集)

則稱    上的拓樸,並稱   為一拓撲空間。任何   被稱為開集

根據上一節賦距空間的性質,取   為所有   的開集所構成的子集族,則顯然   也是一拓撲空間。

例子编辑

  • 度量空间 中,以点 为中心, 为半径的球体 为开集,任意的开集 包含以 为中心,充分小的 为半径的球体 
  • 流形中的开集为子流形

用处编辑

开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构(处理邻近性收敛此類概念,比如度量空间一致空间)時,都會用到开集的概念。

拓扑空间X的每個子集A都包含至少一个(可能为空)开集;最大的这种开集被叫做A内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间XY,从XY函数f连续的,如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射,如果在X中的所有开集的Y中的开集。

实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。

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注释编辑

  1. ^ 若 R > r,以 x 為中心半徑為 R 的開球包含於集合 A;以 x 為中心半徑為 r 的開球包含於集合 B;,那以 x 為中心半徑為r的開球一定包含於A ∩ B。
  2. ^ 開集直觀上意為每點都有個開球完全在此集合内,而任意個開集的聯集仍保持上述性質。