開集

在數學上，特別是拓樸學中，開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合。

通常微積分的課程中，會藉助歐式空間的距離去描述數列極限；直觀上，當 $n$ 越來越大時數列 $x_{n}$ 跟 $a$ 要多靠近有多靠近的時候，就說 $a$ 是數列 $x_{n}$ 的極限，但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」，開集就是來自於＂ $a$ 點附近＂這樣的直觀概念。類似的，函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。

滿足$x^{2}+y^{2}=r^{2}$的點$(x,y)$着藍色。滿足$x^{2}+y^{2}<r^{2}$的點$(x,y)$着紅色。紅色的點形成了開集。紅色和藍色的點的併集是閉集。

定義

歐式空間

$\mathbb {R} ^{n}$代表 $n$ 維歐式空間， 而 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的任兩點距離（歐式距離）為

$d_{n}(x,\,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})}^{2}}}$

若 $O\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ，且對所有 $x\in O$ ，存在一個 $r>0$ ，使得對所有 $y\in \mathbb {R} ^{n}$ ，只要 $d_{n}(x,\,y)<r$ 就有 $y\in O$ ，那麼就說子集$O$是 $\mathbb {R} ^{n}$中的一個開集。也就是說，開集 $O$ 裏的所有點 $x$ 都有一個以 $x$ 為中心的開球完全包含於 $O$ 。

賦距空間

歐式空間的開集很容易地推廣到賦距空間$(M,d)$中：

$U$ 是 $M$ 的子集，若對所有 $U$ 中的點 $x$，存在 $r>0$ 使得對所有$M$中的點 $y$，只要 $d(x,y)<r$ ，則 $y$ 也屬於$U$，或以正式的邏輯符號表述為

$(\forall x\in U)(\exists r>0)(\forall y\in M)\left[\,(d(x,\,y)<r)\Rightarrow (y\in U)\,\right]$

則稱 $U$ 是 $M$ 的一個開集。也就是說，如果所有 $U$ 中的點都有完全包含於 $U$ 的開球，$U$便是開集。

這的確推廣了歐式空間部分的定義，因為歐式距離和歐式空間本身就組成了一個賦距空間。

賦距空間的開集還會有以下的性質：

定理：

若 $(M,d)$ 為賦距空間，則

(1) $\varnothing$ 和 $M$ 也是 $M$ 的開集。

(2) 若 $A$ 和 $B$ 都是 $M$ 的開集，則 $A\cap B$ 也是 $M$ 的開集。

(3) ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$ （ ${\mathcal {F}}$ 是 $M$ 的一個子集族），若所有 $O\in {\mathcal {F}}$ 都是開集，則 $\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}F$ 也是 $M$ 的開集。（也就是說，任意數量開集的併集也是開集）

關於上面性質的證明，(1)是非常顯然的；(2)只需取每一點比較小的開球即可；(3)根據併集的定義也是非常顯然的。

事實上這些性質這就是拓撲空間定義的動機。

拓撲空間

開集是拓撲空間定義的基石；也就是從任意母集合 $X$ 出發，再選取 $X$ 的特定的子集族 $\tau$ ，規定 $\tau$ 中的集合就是開集，這樣的子集族 $\tau$ 被叫做 $X$ 上的拓撲：

$X$ 為集合，若 $\tau \subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 滿足

(1) $\varnothing ,\,X\in \tau$

(2) 若 $A,B\in \tau$ 則 $A\cap B\in \tau$。

(3) ${\mathcal {F}}\subseteq \tau$ ，則 $\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}F\in \tau$ 。（也就是說，任意數量開集的併集也是開集）

則稱 $\tau$ 為 $X$ 上的拓樸，並稱 $(X,\,\tau )$ 為一拓撲空間。任何 $O\in \tau$ 被稱為開集。

根據上一節賦距空間的性質，取 $\tau _{d}$ 為所有 $M$ 的開集所構成的子集族，則顯然 $(M,\,\tau _{d})$ 也是一拓撲空間。

例子

• 度量空間$(X,d)$中，以點$x\in X$為中心，$\varepsilon$為半徑的球體$B(x,\varepsilon )$為開集，任意的開集$A$包含以$x\in A$為中心，充分小的$\varepsilon$為半徑的球體$B(x,\varepsilon )$。
• 流形中的開集為子流形。

用處

開集在拓撲學分支中有着基礎的重要性。當定義拓撲空間和其他拓撲結構（處理鄰近性與收斂此類概念，比如度量空間和均勻空間）時，都會用到開集的概念。

拓撲空間X的每個子集A都包含至少一個（可能為空）開集；最大的這種開集被叫做A的內部。它可以通過取包含在A中的所有開集的併集來構造。

給定拓撲空間X和Y，從X到Y的函數f是連續的，如果在Y中的所有開集的前像是在X中的開集。映射f被叫做開映射，如果在X中的所有開集的像是Y中的開集。

實直線上的開集都是可數個不相交開區間的併集。

相關條目

• 拓撲空間
• 度量空間
• 閉集
• 閉開集