極限 (數列)

值的序列的條款“傾向於”
(重定向自數列極限

極限,即為一個數列,使得,其中為一確定的常數,亦即數列隨著的增加而趨近於

定義编辑

设一數列 ,若对于任意的正实数 ,存在自然数 ,使得對所有 ,有

 
用符号来表示即
 
则称数列 收敛 ,记作
 

收斂數列编辑

其中一個判斷數列是否收斂的定理,称为单调收敛定理,和實數完備性相關:單調有界數列必收斂,即是說,有上界的單調遞增數列,或是有下界的單調遞減數列,必然收斂。

數列極限的性質编辑

定理1(唯一性)编辑

若數列 的極限存在,則極限是唯一的。[1]:29

证明

設數列 有兩個不相等的極限值 ,則對任意的 ,存在 ,使得   時,恆有   ,則接下來考慮 :

 

因此 ,故極限唯一。[1]:29

定理2(有界性)编辑

若數列 有極限,則 有界,即  

[1]:29-30

證明

因為  ,所以對於  ,使得  

從而有  

 

於是  

 有界。

注意有界數列不一定有極限,如數列   是一個有界數列,但沒有極限。

但是當數列有界,存在一個遞增或是遞減的子數列的話,則可以證明,數列存在極限。

我們也可以根據定理二來作推論,如果一個數列無界,則知道這個數列一定發散。[1]:30

定理3(保序性)编辑

 

 ,則:30  

[1]

證明:

已知

 
 

 。取

 
由極限定義知: ,有

 
從而
 

 ,有

 
从而
 
所以當 時,有
 
[1]:30-31
 

數列的四則運算编辑

  ,則

  1.  
  2.  
  3.  ,則 .

柯西數列编辑

参考文献列表编辑

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 华东师范大学数学系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版. ISBN 978-7-04-029566-5. 

參看编辑