巴都萬數列

巴都萬數列(Padovan Sequence)是一個整數數列[1],其起始數值跟遞歸關係定義為:

以巴都萬數為邊長的等邊三角形組成的螺旋

P(n) 的前几个值是:

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ... (OEIS中的数列A000931

此數列以建築師理察·巴都萬英语Richard Padovan命名,理察·巴都萬把此数列的发现归功于荷兰建筑师汉斯·范·德·兰英语Hans van der Laan在1994年发表的论文《Dom. Hans van der Laan : Modern Primitive》[2]。1996年6月,艾恩·史都華在《科學美國人》雜誌提到這個數列。

遞歸關係编辑

  •  (此關係可從圖中見得)
  •  
  •  
  •  

佩蘭數列滿足相同的遞歸關係。它亦可從巴都萬數列定義:  

反巴都萬數列编辑

使用遞歸關係 可將巴都萬數列推廣到負數項。這樣的定義跟將斐波那契數推廣到反斐波那契數列相似。另一方面,反斐波那契數列取絕對值便和斐波那契數列相等,但反巴都萬數列卻不:

... -7, 4, 0, -3, 4, -3, 1, 1, -2, 2, -1, 0, 1, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1 ...

項的和编辑

 項(包括第0項)之和比 少2:

 

下面是每隔數項的和:

 
 
 
 
 
 

下面的恆等式跟項與項的乘積之和有關:

 
 
 

其他恆等式编辑

 

巴都萬數列跟二項式係數之和有關:

 

估計值编辑

 有三個根:唯一的實數 (即銀數)和兩個複數  

 

因為  的絕對值都少於1,當 趨近無限,其會趨近0。因此,對於很大的 ,可以以下面的公式估計:

 

從上面的公式亦知 的值趨近銀數。

整數分拆上的定義编辑

 可以用不同的整數分拆來定義。

  •  是將 寫成一個有序、每項是2或3的和式的方法的數目。例如 ,有4種方法將8寫成這類和式:
2+2+2+2 ; 2+3+3 ; 3+2+3 ; 3+3+2
  •  是將 寫成一個有序且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如 ,有7種方法將5寫成這類和式:
1+1+1+1+1 ; 1+1+3 ; 1+3+1 ; 3+1+1 ; 4+1 ; 1+4 ; 5
  •  是將 寫成一個有序且「回文型」且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如 ,有9種方法將9寫成這類和式:
9 ; 1+7+1 ; 1+1+5+1+1 ; 1+1+1+3+1+1+1 ; 1+1+1+1+1+1+1+1+1; 3+3+3 ; 4+1+4 ; 3+1+1+1+3; 1+3+1+3+1
  • 若上述情況改為 ,則數列如下:
1+1+1+1+1+1+1+1: 4+4; 3+1+1+3; 1+3+3+1; 1+1+4+1+1; 1+6+1; 8
  •  是將 寫成一個有序的、每項除以3都餘2的和式的方法的數目。例如 ,有5種方法將11寫成這類和式:
11 ; 2+2+2+5 ; 2+2+5+2 ; 2+5+2+2 ; 5+2+2+2

生成函數编辑

巴都萬數列的生成函數

 

它可以用於證明巴都萬數跟幾何級數的項的積的等式,例如:

 

多項式编辑

巴都萬數列可以一般化成一個多項式的集。

 

首七個巴都萬多項式為:

 
 
 
 
 
 
 
 

 個巴都萬數即 

其他特質编辑

  • 奇偶性:按「奇奇奇偶偶奇偶」的組合重覆出現。
  • 數列中的質數 OEIS:A000931
  • 數列中的平方數 

参考文献编辑

  1. ^ 埃里克·韦斯坦因. Padovan Sequence. MathWorld. .
  2. ^ Richard Padovan. Dom Hans van der Laan: modern primitive: Architectura & Natura Press, ISBN 9789071570407.

外部連結编辑