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负数

小于0的实数
(重定向自負數

负数,在数学上指小于0实数,如−2、−3.2、−807.5等,与正数相对。和实数一样,负數也是一個不可數無限集合。這個集合数学上通常用粗體R来表示。负数与0统称非正数。

各种各样的
基本

NumberSetinC.svg

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自然数
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无限小数
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複數
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负数
整数
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單位分數
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超越數
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艾森斯坦整数

延伸

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八元數
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雙複數
複四元數
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超复数
超數
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其他

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同餘
整數數列
公稱值

規矩數
可定義數
序数
超限数
p進數
數學常數

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無窮大

负数的历史编辑

负整数可以被认为是自然数的扩展,使得等式 对任意  都有意义。相对而言,其他数的集合都是从自然数通过逐步扩展得到的。

负数在表示小于 0 的值的时候非常有用。例如,在会计学上,它可以被用来表示負債,而且通常以紅色表示(若不帶負數符號則加上括號),所以又稱「赤字」。

自从公元前4世纪,中国数学家就已经了解負數和零的概念了。[1] 公元1世纪的《九章算術》说“正負術曰:同名相除,異名相益,正無入負之,負無入正之。其異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之。”(這段話的大意是“减法:遇到同符号数字应相减其数值,遇到异符号数字应相加其数值,零减正数的差是負數,零减負數的差是正数。”)以上文字里的“無入”通常被数学历史家认为是零的概念。(全文见维基文库的《九章算術》)

尽管中国古人首先发现并应用了负数,但却并没有从理性方面讨论负数存在的意义和本质,这可能是文化习惯导致的。对负数精确的定义,和其根本属性的讨论,是由近代西方数学家首先完成的。[2]

西方最早在数学上使用负数的是一本印度数学文献,Brahmagupta写于628年的 BrahmaSphuta-Sidd'hanta。它的出现是为了表示负资产或债务。在很大程度上,欧洲数学家直到17世纪[來源請求]才接受负数的概念。

符号函数编辑

在实数上可以定义这样一个函数 ,它对正数取值为 1,负数取值为 −1,0 取值为 0。这个函数通常被称为符号函数

 

 不为 0 时,则有:

 

这里,  绝对值 单位阶跃函数。请参见导数

负数的四則運算编辑

負數四則運算口訣
口訣 釋義
加法 減法 乘法 除法
被乘數 乘數 被除數 除數
a + (+b) = a + b
a + (b) = a b
a (+b) = a b
a (b) = a + b
負數四則運算口訣簡單版
兩個符號一樣 兩個符號不同
得正 得負

加法编辑

上一个负数相当于去其相反數

 
 

减法编辑

一个较大的正数减去一个较小的正数将得到一个正数

一个较小的正数减去一个较大的正数将得到一个负数:

 
 
 

任意负数减去一个正数总得到一个负数:

 

减去一个负数相当于加上相应的正数:

 
 

乘法编辑

一个负数和一个正数相得到一个负数: 。这里,乘法可以被看作是多次加法的重复: 

两个负数相乘得到一个正数: 。这里,乘法不能再被看作是多次加法的重复了,而是为了使乘法满足分配律

 

等式的左边为 。等式的右边为 。为了使两边相等,必须要 

除法编辑

除法和乘法类似。若被除数除数有不同的符号,结果是一个负数:

 
 

若被除数和除数有相同的符号(就算他们均为负),结果是一个正数:

 

参见编辑

參考資料及註釋编辑

  1. ^ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3 
  2. ^ HPM通訊第二期