循环小数
循环小数,也稱為無限循環小數,是從小數部分的某一位起,一個數字或幾個數字,依次不斷地重複出現的小數。
各种各样的数 |
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延伸 |
其他 |
定義
编辑
性质
编辑- 一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。若该数为素数,循环节位数一定是N-1的因数(参见:费马伪素数)。為了证明这点,可用反证法。假设 的循环节为m,令m>n。将1/n乘以10,循环往复操作,会得到不同的余数。根据余数定义,余数的个数等于分母本身。又因为当余数为0的时候是整数而非循环小数,所以只有n-1种循环节。若长度为m位,则必有(m-n+1)种循环节无法轮替,所以一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。
- 根據分數 的情況分開討論
- 1.除数a为 的倍數时, 有max(m,n)个不循环位数,其中 為任意自然數, 為非 之其他數。
- 2.如果 ,a不是2或5的倍数,並且a與b互質,那麼存在一個正整數e,e為 的循環節位數,而e= 。[1]
- 表示 可以整除a,或稱 與1同餘)
- 事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子: 來看, 也成立,例如 與 ,兩者循環小數一致,因為 ,只差別在商,餘數皆為1(同餘)故成立。
- 3.承接以上兩點,當除数a可以質因數標準分解式表示成 ⋯ 時,會有max(m,n)個不循環位數,和 個循環節位數。
- 其中, , ,⋯, 分別各有e1,e2,...,en個循環節位數,存在一個最小公倍數 e1,e2,...,en 。
- 例: 的循環節個數?
- 答:前三位不循環(2 和 5 的最高次方為 3),循環節個數是 48(因為 的循環節位數為1,7的循環節位數為6,17的循環節位數為16,[1,6,16]=48)[2]
0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1) (可能未約至最簡)
(⬇另一方法)
计算方法
编辑例如 可以用短除法计算如下:
7|3.00000000000000000 0.42857142857142857...
表示方法
编辑循环小数在不同国家地区都有不同的表示惯例,但没有一种惯例是通用的。
分数 | 括线 | 上点 | 括号 | 弧线 | 省略号 | |
---|---|---|---|---|---|---|
1/9 | 0.1 | 0. | 0.(1) | 0.Template:Overarc | 0.111... | |
1/3 | = 3/9 | 0.3 | 0. | 0.(3) | 0.Template:Overarc | 0.333... |
2/3 | = 6/9 | 0.6 | 0. | 0.(6) | 0.Template:Overarc | 0.666... |
9/11 | = 81/99 | 0.81 | 0. | 0.(81) | 0.Template:Overarc | 0.8181... |
7/12 | = 525/900 | 0.583 | 0.58 | 0.58(3) | 0.58Template:Overarc | 0.58333... |
1/7 | = 142857/999999 | 0.142857 | 0.4285 | 0.(142857) | 0.Template:Overarc | 0.142857142857... |
1/81 | = 12345679/999999999 | 0.012345679 | 0.1234567 | 0.(012345679) | 0.Template:Overarc | 0.012345679012345679... |
22/7 | = 3142854/999999 | 3.142857 | 3.4285 | 3.(142857) | 3.Template:Overarc | 3.142857142857... |
593/53 | = 111886792452819/9999999999999 | 11.1886792452830 | 11.88679245283 | 11.(1886792452830) | 11.Template:Overarc | 11.18867924528301886792452830... |
缺点
编辑不唯一性
编辑使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性,例如
由于循环小数与進位制系統密切相关,使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如:
但在某些进位制当中反而因为循环节较短,使得看起来相当简单。如
又或