超限数

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自然對數的底
虛數單位
無窮大

超限数是大于所有有限数(但不必為绝对无限)的基数序数,分別叫做超穷基数(英語:transfinite cardinal number)和超穷序数(英語:transfinite ordinal number)。术语「超限」(transfinite)是康托尔提出的,他希望避免词语无限(infinite)和那些只不过不是有限(finite)的那些对象有关的某些暗含。當時其他的作者少有这些疑惑;现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的。但是术语「超限」仍在使用。

超穷序数可以確定超穷基数,並導出阿列夫数序列。

对于有限数,有两种方式考虑超限数,作为基数和作为序数。不像有限基数和序数,超限基数和超限序数定义了不同类别的数。

  • 最小超限序数ω
  • 第一个超限基数aleph-0 整数无限集合。如果选择公理成立,下一个更高的基数是aleph-1 。如果不成立,则有很多不可比较于aleph-1并大于aleph-0的其他基数。但是在任何情况下,没有基数大于aleph-0并小于aleph-1。

连续统假设声称在aleph-0和连续统(实数的集合)的势之间没有中间基数:就是说,aleph-1是实数集合的势。已经在数学上证实了连续统假设不能被证明为真或假,由于不完备性的影响。

某些作者,比如Suppes、Rubin使用术语超限基数来称呼戴德金无限集合的势,在可以不等于无限基数的上下文中;就是说在不假定可数选择公理成立的上下文中。给定这个定义,下列是等价的:

  • 是超限基数。就是说有一个戴德金无限集合A使得A的势是
  • 有一个基数使得

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