N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }
正數 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} 自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} } 正整數 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 小数有限小数无限小数循环小数有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 代數數 A {\displaystyle \mathbb {A} } 实数 R {\displaystyle \mathbb {R} } 複數 C {\displaystyle \mathbb {C} } 高斯整數 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
负数 R − {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}} 整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 负整數 Z − {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}} 分數單位分數二进分数規矩數無理數超越數虚数 I {\displaystyle \mathbb {I} } 二次无理数艾森斯坦整数 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
二元数四元數 H {\displaystyle \mathbb {H} } 八元数 O {\displaystyle \mathbb {O} } 十六元數 S {\displaystyle \mathbb {S} } 超實數 ∗ R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} } 大實數上超實數
雙曲複數雙複數複四元數共四元數（英语：Dual quaternion）超复数超數超現實數
質數 P {\displaystyle \mathbb {P} } 可計算數基數阿列夫數同餘整數數列公稱值
規矩數可定義數序数超限数p進數數學常數
圓周率 π = 3.14159265 {\displaystyle \pi =3.14159265} …自然對數的底 e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828} …虛數單位 i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}} 無窮大 ∞ {\displaystyle \infty }
雙複數是擁有以下形式的超複數：
而 i j = j i = k , i 2 = − 1 , j 2 = + 1. {\displaystyle ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1.}
在雙複數 t = w + x i + y j + z k , {\displaystyle t=w+xi+yj+zk,\ } 中，請注意由於ij=k，所以 t = ( w + x i ) + ( y + z i ) j {\displaystyle t=(w+xi)+(y+zi)j\ } 。 這映射
是一個以2x2的複數矩陣組成的雙複數的線性表示方式。
例如，ik = i(ij) = (ii)j = −j的線性表示法是
請注意這代數矩陣與其他代數矩陣的分別是：這代數矩陣是一個可交換的代數矩陣。
中，請注意由於ij=k，所以
。
這映射
。
![\mathbb{Z}[i]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
