超实数 (非标准分析)
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超實數系統是為了嚴格處理無窮量(無窮大量和無窮小量)而提出的。自從微積分的發明以來,數學家、科學家和工程師等(包括牛頓和萊布尼茲在內)就一直廣泛地用無窮小量等概念。超實數集,或稱為非標準實數集,記爲,是實數集 的一個擴張;其中含有一種數,它們大於所有如下形式的數:

各种各样的数 |
基本 |
延伸 |
其他 |
- (有限個)
這可以解釋為無窮大;而它們的倒數就作為無窮小量。 滿足如下性質:任何關於 的一階命題如果成立,則對 也成立。這種性質稱為傳達原理。舉例來說,實數集的加法交換律
是關於 的一階命題。因此以下命題同樣成立:
也就是說超實數集同樣滿足加法交換律。
無窮小量的概念是否嚴格呢?此問題可以追溯到古希臘數學:數學家們如歐幾里得、阿基米德等,為了在一些證明裡繞開無窮小量的爭議以保證嚴格性,而采用了窮竭法等其它說明方式[1]。而亞伯拉罕·魯濱遜在1960年代證明了,
超實數系統是相容的,當且僅當實數系統是相容的
換句話說,如果對實數的使用没有懷疑,那也可以放心使用超實數。在處理數學分析的問題時對超實數、尤其是傳達原理的使用,通稱為非標準分析。
参考资料 编辑
- ^ Ball, p. 31
- Ball, W.W. Rouse. A Short Account of the History of Mathematics 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908]. New York: Dover Publications. 1960: 50–62. ISBN 0-486-20630-0.