超实数 (非标准分析)

超實數系統是為了嚴格處理無窮量(無窮大量無窮小量)而提出的。自從微積分的發明以來,數學家、科學家和工程師等(包括牛頓萊布尼茲在內)就一直廣泛地用無窮小量等概念。超實數集,或稱為非標準實數集,記爲,是實數集  的一個擴張;其中含有一種數,它們大於所有如下形式的數:

超实数轴上的无穷小(ε)和无穷大(ω)(1/ε=ω/1)
各种各样的
基本

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延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無窮大

有限個)

這可以解釋為無窮大;而它們的倒數就作為無窮小量 滿足如下性質:任何關於  的一階命題如果成立,則對  也成立。這種性質稱為傳達原理英语Transfer principle。舉例來說,實數集的加法交換律

是關於  的一階命題。因此以下命題同樣成立:

也就是說超實數集同樣滿足加法交換律。

無窮小量的概念是否嚴格呢?此問題可以追溯到古希臘數學:數學家們如歐幾里得阿基米德等,為了在一些證明裡繞開無窮小量的爭議以保證嚴格性,而采用了窮竭法等其它說明方式[1]。而亞伯拉罕·魯濱遜在1960年代證明了,

超實數系統是相容的,當且僅當實數系統是相容的

換句話說,如果對實數的使用没有懷疑,那也可以放心使用超實數。在處理數學分析的問題時對超實數、尤其是傳達原理的使用,通稱為非標準分析

参考资料编辑

  1. ^ Ball, p. 31