超实数 (非标准分析)

超實數系統是為了嚴格處理無窮量（無窮大量和無窮小量）而提出的。自從微積分的發明以來，數學家、科學家和工程師等（包括牛頓和萊布尼茲在內）就一直廣泛地用無窮小量等概念。超實數集，或稱為非標準實數集，記爲$^{*}\mathbb {R}$，是實數集 $\mathbb {R}$ 的一個擴張；其中含有一種數，它們大於所有如下形式的數：

超实数轴上的无穷小（ε）和无穷大（ω）（1/ε=ω/1）

$1+1+\cdots +1$（有限個）

這可以解釋為無窮大；而它們的倒數就作為無窮小量。$^{*}\mathbb {R}$ 滿足如下性質：任何關於 $\mathbb {R}$ 的一階命題如果成立，則對 $^{*}\mathbb {R}$ 也成立。這種性質稱為傳達原理。舉例來說，實數集的加法交換律

$\forall x,y\in \mathbb {R} ,x+y=y+x$

是關於 $\mathbb {R}$ 的一階命題。因此以下命題同樣成立：

$\forall x,y\in ^{*}\mathbb {R} ,x+y=y+x$

也就是說超實數集同樣滿足加法交換律。

無窮小量的概念是否嚴格呢？此問題可以追溯到古希臘數學：數學家們如歐幾里得、阿基米德等，為了在一些證明裡繞開無窮小量的爭議以保證嚴格性，而采用了窮竭法等其它說明方式。而亞伯拉罕·魯濱遜在1960年代證明了，

超實數系統是相容的，當且僅當實數系統是相容的

換句話說，如果對實數的使用没有懷疑，那也可以放心使用超實數。在處理數學分析的問題時對超實數、尤其是傳達原理的使用，通稱為非標準分析。

参考资料

• Ball, W.W. Rouse. A Short Account of the History of Mathematics 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908]. New York: Dover Publications. 1960: 50–62. ISBN 0-486-20630-0.