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高斯整數是複數面上的整點。
各种各样的
基本

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高斯整數實數虛數部分都是整數複數。所有高斯整數組成了一個整域,寫作,是個不可以轉成有序環歐幾里德域

高斯整數的范数都是非負整數,定義為

單位元的範數均為

目录

作为唯一分解整环编辑

高斯整数形成了一个唯一分解整环,其可逆元 

 素元素又称为高斯素数

高斯整数 是素数当且仅当

  •  中有一个是零,另一个是形为 或其相反数 的素数

  •  均不为零,而 为素数。
 
高斯素数的分布

以下给出这些条件的证明。

必要条件的证明为:仅当高斯整数的范数是素数,或素数的平方时,它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数  。现在, 是整数,因此根据算术基本定理,它可以分解为素数 的乘积。根据素数的定义,如果 是素数,则它可以整除 ,对于某个 。另外, 可以整除 ,因此 。于是现在只有两种选择:要么 的范数是素数,要么是素数的平方。

如果实际上对于某个素数 ,有 ,那么  都能整除 。它们都不能是可逆元,因此 ,以及 ,其中 是可逆元。这就是说,要么 ,要么 ,其中 

然而,不是每一个素数 都是高斯素数。 就不是高斯素数,因为 。高斯素数不能是 的形式,因为根据费马平方和定理,它们可以写成 的形式,其中  是整数,且 。剩下的就只有形为 的素数了。

形为 的素数也是高斯素数。假设 ,其中 是素数,且可以分解为 。那么 。如果这个分解是非平凡的,那么 。但是,任何两个平方数的和都不能写成 的形式。因此分解一定是平凡的,所以 是高斯素数。

类似地, 乘以一个形为 的素数也是高斯素数,但 乘以形为 的素数则不是。

如果 是范数为素数的高斯整数,那么 是高斯素数。这是因为如果 ,那么 。由于 是素数,因此  一定是1,所以  一定是可逆元。

作为整闭包编辑

高斯整数环是 高斯有理数中的整闭包,由实数部分和虚数部分都是有理数的复数组成。

作为欧几里德环编辑

在图中很容易看到,每一个复数与最近的高斯整数的距离最多为 个单位。因此, 是一个欧几里德环,其中 

未解决的问题编辑

高斯圆问题是中心为原点、半径为给定值的圆内有多少格点的问题。它本身并不是关于高斯整数的,但等价于确定范数小于某个给定值的高斯整数的数目。

关于高斯整数,还有一些猜想和未解决的问题,例如:

实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数 。在复平面上,还存在任何其它的直线上有无穷多个高斯素数吗?特别地,实数部分为 的直线上存在无穷多个高斯素数吗?

在高斯素数上行走,步伐小于某个给定的值,可以走到无穷远吗?

參見编辑

参考文献编辑

  • C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-­34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-­148.
  • 从数到环:环论的早期历史,由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)
  • Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5