高斯圓問題

問以原點為圓心,r為半徑的圓內,整點數為何

數學中,高斯圓問題(英語:Gauss circle problem)問以原點為中心,半徑的圓內,有多少個整數點英语Integer lattice。答案與圓的面積相近,因此,真正的問題是如何準確地描述點數與面積的差異。問題得名自數學家卡爾·弗里德里希·高斯

問題

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考慮 中以原點為中心和以 為半徑的一個圓。高斯圓問題詢問該圓中有多少個點 使  都是整数。由於在笛卡爾坐標系中,這個圓的方程式 ,問題等價於詢問有多少對整數  使得

 

 表示輸入為 時的答案。以下第一行先列出   時, 的值,第二行列出 四捨五入到最接近的整數,以作比較:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 (OEIS數列A000328
0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 (OEIS數列A075726

解決方案和猜想的上下界

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 大概是  ,半徑範圍內的區域  。這是因為平均而言,每個單位正方形包含一個格子點。因此,圓中格子點的實際數量大約等於其面積,   。因此,應該預期

 

對於某些錯誤項 具有相對較小的絕對值。找到正確的上限 因此是問題採取的形式。注意 不必是整數。後 一個有 在這些地方 之後它減少(以  ),直到下一次增加為止。

高斯設法證明[1]

 

谢尔品斯基将指數改进至 ,以大O符号表示,即證明 约翰内斯·范德科皮特英语Johannes van der Corput引进了他关于外尔和的估计,从而证明了指數為 的結果(此數略小於 )。以后不少数学家改进这一结果。中国数学家华罗庚陈景润分别证得指數為  的上界。[2]

下界方面,哈代[3]和Landau分別獨立證明

 

其中用到小o表示。據推測[4],正確的界線是

 

 總成立,則關於 的最小可能值 ,目前所知的結果是

 

其中下界是1915年Hardy和Landau所證,上界於2000年由馬丁·赫克斯利英语Martin Huxley证明。[5]

確切形式

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 的值可以由幾個形式給出,例如以下取整函數表示成以下和式: [6]

 

這是雅可比二平方和定理英语Sum of two squares theorem的結果,該定理來自雅可比三重積英语Jacobi triple product[7]

如果將平方和函數英语Sum of squares function 定義為將自然數 寫為兩個整數平方之和的方法數,則 是一个积性函数[8],且可寫出較簡單的和式:[1]

 

Hardy首次發現了以下的最新成果: [9]

 

其中 表示第一種階數為1的貝塞爾函數

概論

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儘管最初的問題要求在一個圓內的整數點個數,但沒有理由不考慮其他形狀,例如圓錐形。的確,狄利克雷(Dirichlet)的除數問題是用矩形雙曲線替換圓的等價問題。同樣,可以將問題從二維擴展到更高的維度,並在球體或其他物體中求整數。關於這些問題有大量文獻。如果忽略幾何學而僅將問題視為Diophantine不等式的代數之一,則可能會增加問題中出現的指數,從平方立方,甚至更高次方。

原始圓問題

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另一個概括是計算互質整數解數量 不等式

 

此問題稱為原始圓問題,因為它涉及搜索原始圓問題的原始解。可以直觀地理解為在原點的歐幾里得果園中可見多少距離為r的樹木的問題。如果表示此類解決方案的數量 然後的值 為了 取小整數值是

0,4,8,16,32,48,72,88,120,152,192 (OEIS中的數列A175341)

使用與普通的高斯圓問題相同的方法,以及兩個整數互質機率 ,容易證明

 

與普通的圓問題一樣,原始圓問題的問題部分在於減少誤差項中的指數。如果假設黎曼猜想正確,目前最著名的指數是 。在不假設黎曼猜想正確的情況下,最著名的上限

 

其中 為正常數 。 [10]特別是,目前不假設黎曼猜想正確的情況下,對於任何  誤差項沒有限制。

參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 G.H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, (1959), p.67.
  2. ^ 王元. 数学大辞典. 高斯圆问题. Ke xue chu ban she. 2017. ISBN 7-03-053336-4. OCLC 1124964888. 
  3. ^ G.H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares, Quart. J. Math. 46, (1915), pp.263–283.
  4. ^ R.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Third edition, Springer, (2004), pp.365–366.
  5. ^ M.N. Huxley, Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function, Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000) pp.275–290, A K Peters, Natick, MA, 2002, MR1956254
  6. ^ D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, New York: Chelsea, (1999), pp.37–38.
  7. ^ Hirschhorn, Michael D. Partial fractions and four classical theorems of number theory. 美國數學月刊. 2000, 107 (3): 260–264. CiteSeerX 10.1.1.28.1615 . JSTOR 2589321. doi:10.2307/2589321. 
  8. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A002654. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
  9. ^ Landau, Edmund. Vorlesungen über Zahlentheorie - 2. Band. Verlag S. Hirzel. 1927: 189. 
  10. ^ J. Wu, On the primitive circle problem, Monatsh. Math. 135 (2002), pp.69–81.

外部鏈接

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