八元数
八元数(英語:Octonion)是以實數構建的8維度賦範可除代數,為四元数非结合推广的超複數,通常记为O或。八元數的8個維度可以視為2個4維度之四元數的組合。八元數不具備結合律和交換律,但具備交错代数的特性,並保有冪結合性。
八元數 | |
---|---|
符號 | |
種類 | 超複代數 |
單位 | 形式: 、 、 、 、 、 、 、 |
乘法單位元 | 或1 |
主要性質 | 非交換 非结合 |
常見的數字系統 | |
各种各样的数 |
基本 |
延伸 |
其他 |
也许是因为八元数的乘法不具備结合性,因此它们作為超複數而言受關注的程度較四元数低。尽管如此,八元数仍然与数学中的一些例外结构有关,其中包括例外李群。此外,八元数在诸如弦理论、狭义相对论和量子逻辑中也有应用。
歷史
编辑八元數第一次被描述於1843年,於一封约翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。[1]:168後來八元數由阿瑟·凯莱在1845年獨自發表。[2]格雷夫斯發表結果的時間點比阿瑟·凯莱發表的時間稍晚一些[3]。阿瑟·凯莱發表的八元數和约翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。阿瑟·凯莱是獨自發現八元數的,[2]因此八元數又被稱為凯莱數或凯莱代數。哈密頓則描述了八元數被發現並描述的早期歷史。[4]
定义
编辑八元数可以视为实数的八元组。八元数有多種構造方式。以凯莱-迪克森结构為例,八元数可以表達為2個四元數P與Q的組合,即 P+Q l 或 ,其中,量l為其中一個八元数單位並滿足:[5]
在這種定義下每一个八元数都是单位八元数{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的线性组合。也就是说,每一个八元数x都可以写成[6]
其中系数xa是实数。 這些八元数單位亦滿足:[5]
八元数的加法是把对应的系数相加,就像复数和四元数一样。根据线性,八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。[6]
一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為ea的線性組合,其中 a=0, 1,..., 7 :[7]
當中的 為實數單位。每個八元數單位元素皆不相等,而其平方為實數。也就是說,每個八元數 x 都可以寫成以下形式[8]:
- [9]:5
其中xi為單位元素ei的係數,且必為實數。八元數的加法和減法是通過加減相應的項以及它們的係數來完成的,與四元數的加減法類似。 乘法則較為複雜。 八元數的乘法是對加法的分配,所以兩個八元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算,再次如同四元數一般。 每對項的乘積可以通過係數的乘積和單位八元數的乘法表給出[7],其乘法表的結構與{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的模式( )類似。這個乘法表先後由Graves於1843年和Cayley於1845年描述:[10]
[11] | |||||||||
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除了主對角線上以及 作為操作數的行和列的元素之外,乘法表中的大多數非對角元素都是反對稱的,這使得這個乘法表幾乎是一個斜對稱矩陣。
該表可總結如下:[12]
其中δij為克罗内克δ函数(當且僅當i = j時為1)、 εijk為完全反對稱張量,且當ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365時,值為1。[9]
然而,上述定義並不是唯一的。這些定義只是 八元數乘法的480個可能定義之一。其他的八元數乘法定義可以透過置換和改變非標量基元素 的符號來獲得。[13]這480個不同乘法定義對應的代數結構是同構的,很少需要考慮使用哪個特定的乘法規則。
這480個八元數乘法定義中,每一定義的正負號在7循環(1234567)下的特定點上都是不變的,並且對於每個7循環有四個定義,它們的區別在於正負號和順序的反轉。 一個常見的選擇是使用 e1e2 = e4的7循環(1234567)下的定義不變量 — 通過使用三角乘法圖或下面的 法诺平面,該平面還顯示了基於124的7循環三元組及其相關乘法的排序列表en和 格式的矩陣。[14]
此外,亦有一些文獻會將八元數的單位定義為 。[15]
凯莱-迪克松构造
编辑一个更加系统的定义八元数的方法,是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样,八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数 和 的乘积定义为:[8]:153
其中 表示四元数 的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。[16]
法诺平面记忆
编辑一个用来记忆八元数的乘积的方便办法,由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线(经过i、j和k的圆也視為一条直线),称为法诺平面。[17]这些直线是有向的。七个点对应于Im( )的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上,而每一条直线正好通过三个点。[18]
设(a, b, c)为位于一条给定的直线上的三个有序点,其顺序由箭头的方向指定。那么,乘法由下式给出:[18]
- ab = c,ba = −c
- 1是乘法单位元,
- 对于图中的每一个点,都有
完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了 的一个子代数,与四元数 同构。[8]:151-152
共轭、範数和逆元素
编辑八元数
的共轭为:
當中除了實數項外,其餘項正負號皆相反。因此若將八元數單位表達為{e1, e2 ... e7},則八元数的共轭可以簡化表示為:[9]:6
x的实数部分定义为 ,虚数部分定义为 。[16]所有纯虚的八元数生成了 的一个七维子空间,记为Im( )。[8]:186
这个範数与 上的标准欧几里得範数是一致的。
上範数的存在,意味着 的所有非零元素都存在逆元素。x ≠ 0的逆元素为:[16][9]:6
它满足 。
性质
编辑然而,八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性[9]:2。这就是说,由任何两个元素所生成的子代数是结合的。[9]:3实际上,我们可以证明,由 的任何两个元素所生成的子代数都与 、 或 同构,它们都是结合的。由于八元数不满足结合性,因此它们没有矩阵的表示法,与四元数不一样。[9]
八元数确实保留了 、 和 共同拥有的一个重要的性质: 上的範数满足
这意味着八元数形成了一个非结合的赋範可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质,因為它们都存在零因子。[19]
这样,实数域上唯一的赋範可除代数是 、 、 和 。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数。[8]:155
由于八元数不是结合的,因此 的非零元素不形成一个群。然而,它们形成一个拟群。
自同构
编辑的所有自同构的集合组成了一个群,称为G2。[21][9]群G2是一个单连通、紧致、14维的实李群。[22]这个群是例外李群中最小的一个。[23]
参见
编辑註釋
编辑参考文献
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延伸閱讀
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