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虚数

复数可写成实数乘以虚单位
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虛數是指實數以外的複數,其中實部為0的虛數稱為純虛數。而英文imaginary number的另一種定義是可以写作实数虚数单位乘积的数[1],以此定義,0可視為同時是實數也是虛數[2]

17世纪著名數學家笛卡爾所著《幾何學》(法語:La Géométrie)一書中,命名其為nombre imaginaire(虛構的數),成為了虛數imaginary number)一詞的由來。

後來在歐拉高斯的研究之後,後來發現虛數可對應平面上的縱軸,與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面,複數平面上每一點對應着一個複數

複數平面的圖示。虛數位於垂直座標軸之上。

幾何詮釋编辑

 
複數平面上乘以虛數單位表示旋轉九十度

在幾何學上,複數平面的垂直軸表示虛數,它們與代表實數的水平軸垂直。查看虛數的方法之一是參考慮標準數線:往右側正幅度增長,往左側則負幅度減少。在x軸的0點處,往上升方向可繪製y軸的“正”虛數,然後向上增加;而“負”虛數則往下增加。這個垂直軸通常被稱為“虛數軸”,並被表示為  ,或 

在該呈現圖示中,乘以–1對應於以原點為中心180度的旋轉。 的乘法對應於“逆時針”方向的90度旋轉,而方程式 可被解釋為,如果我們對原點應用兩個90度旋轉,則終了結果是單一個180度旋轉。注意,“順時針”方向的90度旋轉也滿足這種解釋。這反映了 也解出了方程 。一般來說,乘以複數與以複數幅角圍繞原點的旋轉相同,然後按其大小進行縮放。

負數的平方根编辑

我們應該將根號視為求 的解,故將一個數開根號後會有兩個合理的值,此二值互相差一個負號。在將正數開根號時,這兩個值一為正數一為負數,故習慣上直接將根號對應到正值,而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應, 實際上代表的是兩個數,分別為  。但若直接將 對應到 ,而 對應到 也未嘗不可。

性質编辑

1. 不同的虛數都是不能比較大小的: 成立,但  卻均不成立。

舉例說明:(反證法)

假設 

平方得 

 即可看出矛盾。

再舉例:假設 

平方得 (要變號

 即可看出矛盾。

因此虛數或者說虛部不爲0的複數不能比較大小。

2. 因爲      ,很容易知道  )是關於指數 週期函數,最小正週期 。於是,我們有

 

這表示 方程 的一個根,另三個根分別為  

另外可以證明

 

 

爲下列方程的根

 
 

其中, 稱爲 共軛虛數(或共軛複數)。

3. 如果再將虛數的這個概念擴展開去,就可以組成四元數(Quaternion)、八元數(Octonion)等特殊數學範疇。

參見编辑

参考资料编辑

  1. ^ Uno Ingard, K. Chapter 2. Fundamentals of waves & oscillations. Cambridge University Press. 1988: 38. ISBN 0-521-33957-X. 
  2. ^ Sinha, K.C. A Text Book of Mathematics XI. Rastogi Publications. : 11.2. ISBN 8171339123. 

外部链接编辑