超复数

實數域上的單位代數的元素
各种各样的
基本

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延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無窮大

超複數複數在抽象代數中的引申,通常是實數上某個有限維的單位代數的元素。19世紀後期對超複數的研究,成為現代群表示論的根基。 此種代數舉例如下:

歷史编辑

19世紀,實數系複數系之外的若干數系,如四元數系雙複數系分裂四元數系複四元數系八元數系,成為數學文獻中完善的概念。超複數是涵蓋該些數系的概念,吸引學者研究和分類。

分類工作始於本傑明·皮爾士英语Benjamin Peirce的1872年文章〈線性結合代數〉[1],並由其子查爾斯·桑德斯·皮爾士接續。重要的是,二人認定冪零元冪等元皆對分類有用。凱萊-迪克森構造利用對合,從實數系開始,生成複數系、四元數系、八元數系。赫維茲弗羅貝尼烏斯證明超複數的若干限制:赫維茲定理斷言有限維的實複合代數英语composition algebra僅得實數系 、複數系 、四元數系 、八元數系 ,而弗羅貝尼烏斯定理英语Frobenius theorem (real division algebras)斷言,實結合除代數英语associative division algebra僅得   。1958年,弗蘭克·亞當斯英语Frank Adams考慮H-空間(有具單位元的連續乘法的拓撲空間)的霍普夫不變量,發表推廣的結果,該結果仍將維數限制在1、2、4、8。[2]

矩陣代數對研究超複數系幫助很大。首先,矩陣提供新的超複數系,例如 實矩陣組成的代數(同構於分裂四元數)。很快,矩陣方法解明其他超複數系,因為該些超複數系也可以用矩陣及其運算表示。1907年,約瑟夫·韋德伯恩證明,滿足結合律的超複數系可表示為方陣代數或其直積[3][註 1]此後,結合代數成為較常用來稱呼超複數系的術語,例如韋德伯恩在愛丁堡大學的學位論文標題便用了此術語。然而,也有不可結合的數系,例如八元數系和雙曲四元數系英语Hyperbolic quaternion,也算是另一類的超複數。

湯馬士·霍金斯(Thomas Hawkins)[4]解釋,超複數是研究李群群表示論的踏腳石。例如,1929年,埃米·諾特發表〈超複量與表示論〉[5]。1973年,以賽亞·坎托爾英语Isaiah Kantor和索洛多夫尼科夫(A. S. Solodovnikov)出版關於超複數的德文教科書[6],該書於1989年翻譯成英文。[7]

凱倫·帕歇爾英语Karen Parshall詳細介紹全盛期的超複數研究[8],包括數學家特奧多爾·莫林英语Theodor Molien[9]愛德華·斯圖迪英语Eduard Study[10]的貢獻。關於超複數至近世代數的過渡,巴爾特·倫德特·范德瓦爾登英语Bartel van der Waerden在《代數史》[11]有三十頁專論超複數。

定義编辑

Kantor & Solodovnikov (1989)定義超複數為實域上某個有限維代數的元素,而該代數要有單位,但無需可結合可交換[12] 該些元素可以寫成一組 的線性組合,其中系數為實數 ,而基的大小 稱為該代數的維數。若可行,一般將基正規化,即選取 使 。下節先考慮二超複數(即 )。

二維實代數编辑

關於二維實代數有以下定理:[6]:14,15[13][14]在同構意義下,實域上的二維單位代數恰有3個:複數系雙曲複數系二元數系。於是,實域上的所有二維單位代數皆可結合和可交換。

下段簡述定理的證明。

因為給定的代數是二維,可選一組基 。因為代數對乘法封閉 的平方仍是代數的元素,故可寫成線性組合:

 

其中 為實系數。

運用常見的配方法,兩邊減走 並加上 ,得:

 

所以 ,其中 是實數。 取決於此實數值,分別有三種情況:

  1.  ,則上式變成 。於是, 可視為二元數的基 中的冪零元 
  2.  ,則有 雙曲複數的標準基 滿足 ,故若除 以正實數 (其平方與 平方相等),得到的結果即可視為 
  3.  ,則有 。平常複數的標準基 滿足 ,故若除 以正實數 (其平方與 平方互為相反數),得到的結果即可視為 

從而定理成立。

複數系是以上三個二維實代數中唯一一個。若代數具有1的非實平方根 (如雙曲複數),則也有冪等元 零因子(因為 ),故此種代數必不為除代數粵语除代數。然而,此種性質有時很有用,例如雙曲複數適用於描述狹義相對論勞侖茲變換

數學雜誌》在2004年的某版中,稱二維實代數為「廣義複數」(generalized complex numbers)。[15]四個複數交比的概念也可以推廣到其他二維實代數。[16]

高維例子(有多於一條非實軸)编辑

克里福代數编辑

克里福代數是由賦有二次型的向量空間所生成的單位結合代數。在實域上,其等價於可以定義對稱純量積 正交化該二次型,以得到基 ,滿足:

 

由乘法封閉性,該向量空間的基相乘得到 克里福數英语Multivector,即 ,皆為克里福代數的元素,且組成該代數的基(不同於原向量空間的基),可視為一個超複數系的基。與原向量空間的基 不同,該代數的其他基元素不一定反交換,而是取決於將兩個因子對調時,會交換的簡單因子(即 )有奇數對抑或偶數對。所以, ,但 

若不允許 (即二次型非退化英语Degenerate bilinear form),則餘下的克里福代數可記為 ,表示其為 個滿足 的簡單基元和 個滿足 的簡單基元生成的代數,而括號內的 指明此為實域上的克里福代數,即元素的系數為實數。

該些代數稱為幾何代數英语Geometric algebra,組成有規律的一族。該族代數適用於描述轉動相位自旋,因此在古典量子力學電磁學相對論方面很有用。

此族代數包括:複數系 雙曲複數系 四元數系 分裂複四元數系英语split-biquaternion 分裂四元數系 (二維空間生成的自然代數)、 (三維空間生成的自然代數,也是包立矩陣生成的代數)、時空代數英语Spacetime algebra 

代數 可以視為代數 的偶子代數 ,從而可用作描述 中的旋轉。因此,複數密切關係二維空間的旋轉,四元數密切關係三維空間的旋轉,雙曲複數密切關係1+1維時空的雙曲旋轉(洛侖茲變換),餘可類推。

雖然八維或以上時,凱萊-迪克森結構和分裂複數構造的乘法不可結合,任意維數的克里福代數皆可結合。

1995年,伊恩·波蒂厄斯英语Ian R. Porteous有關克里福代數的書中,論及「子代數的辨認」。其命題11.4總結超複數的情況:[17]

 為實結合代數,且具有單位元 。則
  •  生成 實子代數),
  •  是任何滿足 的元素,則其生成的二維子代數與 同構(複子代數),
  •  是任何滿足 的元素,則其生成的二維子代數與 同構(此處 是實二元組的集合,其上的乘法是逐個分量相乘。該代數與雙曲複代數同構),
  •  ,且 反交換,則 生成的四維子代數同構於 四元數代數),
  •  ,且 反交換,則 生成的四維子代數同構於 (元素為 實矩陣,或分裂四元數),
  •  ,且 兩兩反交換,則其生成的八維子代數同構於 分裂複四元數代數英语split-biquaternion),
  •  ,且 兩兩反交換,則其生成的八維子代數同構於 (元素為 複矩陣,亦可視為複四元數包立代數)。

超出該些古典代數的延伸,見克里福代數的分類英语Classification of Clifford algebras

凱萊-迪克森構造编辑

撇除實數系、複數系、四元數系不計,其他克里福代數 皆含有平方為 的非實數,故不能為除代數。凱萊-迪克森構造是另一個擴展複數系的方法,其給出維數為 的數系,該些數系的基 滿足:所有非實的基元兩兩反交換,且 。在8維或以上時(即 ),該些代數不可結合,而在16維或以上時(即 ),該些代數有零因子

此構造得到的前幾個代數是4維的四元數系、8維的八元數系、16維的十六元數系。隨維數上升,其代數結構的對稱性逐一失去:四元數乘法不可交換,八元數乘法不可結合,而十六元數的範數不具積性。

凱萊-迪克森構造的某些步驟中,若插入額外的符號,則得到複合代數英语composition algebra中的「分裂代數」,而非除代數:

分裂複數系:有基 ,滿足 
分裂四元數系:有基 ,滿足 
分裂八元數系英语split-octonion:有基 ,滿足  

與複數系不同,分裂複數系並非代數閉,甚至包含非平凡的零因子冪等元。與四元數系類似,分裂四元數系亦不可交換,但同時還含有冪零元。分裂四元數與二階方陣的代數同構。分裂八元數系不可結合,也含有冪零元。

張量積编辑

兩個代數的張量積仍為代數,如此可構造更多超複數系。

作為例子,取2維實代數 (複數系)、4維實代數 (四元數系)、8維實代數 (八元數系),分別與 作張量積,依次得4維的雙複數系 、8維的複四元數系 、16維的複八元數系 

其他例子编辑

參見编辑

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  1. ^ 埃米爾·阿廷其後推廣韋德伯恩的結果,定理因而得名阿廷-韋德伯恩定理

參考資料编辑

  1. ^ Peirce, Benjamin, Linear Associative Algebra, American Journal of Mathematics, 1881, 4 (1): 221–6, JSTOR 2369153 (英语) 
  2. ^ Adams, J. F., On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One (PDF), Annals of Mathematics, July 1960, 72 (1): 20–104, JSTOR 1970147, doi:10.2307/1970147 (英语) 
  3. ^ J.H.M. Wedderburn, On Hypercomplex Numbers, Proceedings of the London Mathematical Society, 1908, 6: 77–118, doi:10.1112/plms/s2-6.1.77 (英语) 
  4. ^ Hawkins, Thomas, Hypercomplex numbers, Lie groups, and the creation of group representation theory, Archive for History of Exact Sciences, 1972, 8 (4): 243–287, S2CID 120562272, doi:10.1007/BF00328434 (英语) 
  5. ^ Noether, Emmy, Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie [Hypercomplex Quantities and the Theory of Representations], Mathematische Annalen, 1929, 30: 641–92 [2016-01-14], S2CID 120464373, doi:10.1007/BF01187794, (原始内容存档于2016-03-29) (德语) 
  6. ^ 6.0 6.1 Kantor, I. L.; Solodownikow, A. S., Hyperkomplexe Zahlen, Leipzig: BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1978 (德语) 
  7. ^ Kantor, I. L.; Solodovnikov, A. S., Hypercomplex numbers, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1989, ISBN 978-0-387-96980-0, MR 0996029 (英语) 
  8. ^ Parshall, Karen, Wedderburn and the Structure of Algebras, Archive for History of Exact Sciences, 1985, 32: 223–349, S2CID 119888377, doi:10.1007/BF00348450 (英语) 
  9. ^ Molien, Theodor, Ueber Systeme höherer complexer Zahlen, Mathematische Annalen, 1893, 41 (1): 83–156, S2CID 122333076, doi:10.1007/BF01443450 (德语) 
  10. ^ Study, Eduard, Theorie der gemeinen und höhern komplexen Grössen, Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften I A (4): 147–183, 1898 (德语) 
  11. ^ van der Waerden, B.L., 10. The discovery of algebras, 11. Structure of algebras, A History of Algebra, Springer, 1985, ISBN 3-540-13610X (英语) 
  12. ^ Kantor, I. L.; Solodovnikov, A. S., Hypercomplex numbers, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1989, ISBN 978-0-387-96980-0, MR 0996029 (英语) 
  13. ^ Yaglom, Isaak, Complex Numbers in Geometry: 10–14, 1968 (英语) 
  14. ^ Ewing, John H. (编), Numbers, Springer: 237, 1991, ISBN 3-540-97497-0 (英语) 
  15. ^ Harkin, Anthony A.; Harkin, Joseph B., Geometry of Generalized Complex Numbers (PDF), Mathematics Magazine, 2004, 77 (2): 118–129, S2CID 7837108, doi:10.1080/0025570X.2004.11953236 (英语) 
  16. ^ Brewer, Sky, Projective Cross-ratio on Hypercomplex Numbers, Advances in Applied Clifford Algebras, 2013, 23 (1): 1–14, S2CID 119623082, arXiv:1203.2554 , doi:10.1007/s00006-012-0335-7 (英语) 
  17. ^ Porteous, Ian R., Clifford Algebras and the Classical Groups, Cambridge University Press: 88–89, 1995, ISBN 0-521-55177-3 (英语)