大基数

集合論大基數性質超限基數可能具有的若干性質的統稱。顧名思義,有某種大基數性質的基數(大基數)一般都很「大」(例如,比滿足的最小的更大,其中的意義見阿列夫數)。大基數的存在性不能用最常見的ZFC集合論公理系統證明,所以,若需要大基數才能證明某些結論,則可用所需的大基數來衡量該結論「超出」ZFC的程度。其如達納·斯科特所言,量化了「欲證更多,必先假設更多」。[1]

常見大基數類別有不可达基数拉姆齊基數英语Ramsey cardinal弱紧基数英语Weakly compact cardinal可测基数等,其中可测基数和拉姆齊基数都比弱紧基数强,而若假定選擇公理,弱紧基数是不可达基数。

集合論界中有以下粗略約定:ZFC足以證明的結論敍述時不用列明前提「假設ZFC」,但若證明要求其他假設(例如存在某個大基數),則須列明。視乎哲學派別,或認為該約定僅是語言慣例,或認為其意義更重大(見研究動機和公理認受性一節)。

大基數公理是斷言特定大基數存在的公理。例如,「存在3個不可達基數」便屬大基數公理。

許多集合論者相信現時考慮的大基數公理皆與ZFC相容[來源請求]。該些公理足以推出ZFC相容,因此ZFC(若相容)無法證明該些公理與ZFC相容,否則ZFC將證明自身的相容性,與哥德爾第二不完備定理矛盾。

並無準確定義何種性質為大基數性質,但大基數性質列表英语list of large cardinal properties列舉了若干較普遍接受的大基數性質。

部分定義编辑

某個基數性質稱為大基數性質有個必要條件:未知ZFC能證明不存在具有該種性質的基數,且已證明若ZFC相容,則ZFC與「不存在該種基數」也相容(即已證明ZFC(若相容)不能證出該種基數存在)。

相容強度層級编辑

值得注意,雖然喬爾·哈姆金斯英语Joel David Hamkins稱找到不能比較相容強度的大基數公理[2],仍有許多自然的大基數公理按相容強度英语Equiconsistency組成全序。換言之,對於大基數公理  ,通常恰有以下三者之一:

  1. 除非ZFC不相容,否則 相容當且僅當 相容;
  2.  證明 相容;
  3.  證明 相容。

此三者互斥,除非所提及的理論其實不相容。

情況1,稱  等相容英语Equiconsistency。情況2,稱 相容意義下強 (情況3則反之)。若 強於 ,則即使由 ,也不能證明 相容(前提是 確實相容)。此為哥德爾第二不完備定理的推論。

由於未有大基數公理的準確定義(並有哈姆金斯的結果),以上觀察無法成為定理。此外,對一些 ,仍未知三個情況何者為真。薩哈龍·謝拉赫英语Saharon Shelah問:「是否有定理解釋,抑或是我們的目光比所以為的更單一?」[3]同樣值得注意,許多組合命題恰與某個大基數等相容,而非介於兩個大基數的等相容強度之間。

等相容強度的順序,不必等於具有該性質的最小基數的大小順序。例如,巨大基數英语huge cardinal的存在性,在相容意義下遠強於超緊基數英语supercompact cardinal的存在性,但假設兩者皆存在,則首個巨大基數小於首個超緊基數[4]

研究動機和公理認受性编辑

大基數可放在冯·诺伊曼全集 理解。冯·诺伊曼全集是將冪集運算(將某集合的所有子集組成集合)超限疊代而得。無大基數的模型經常可視為有大基數的模型的子模型。例如,若有不可達基數,則在首個不可達基數 的高度將全集 截斷成 ,便是無不可達基數的全集。又設有可測基數 ,則疊代「可定義」冪集運算(而非完整的冪集運算),便得哥德爾可構全集英语Gödel's constructible universe ,其不認為存在可測基數,即使 仍包含 (作為序數)。

所以,一些加州學派英语Cabal (set theory)集合論者認為,大基數公理「說明」正在考慮全部「應當」考慮的集合,而否定大基數公理,則「限制」只考慮一部分集合。更甚者,大基數公理的後果似乎可以找到一定規律(見麥迪〈相信公理之二〉[5])。因此,該些集合論者傾向認為,大基數公理是ZFC的較好的擴展,勝於其他較少明確動機的公理(如馬丁公理英语Martin's axiom),也勝於他們直觀認為較不可能的公理(如可構公理英语可構公理)。此派中的實在論者視大基數定理為「真」。

當然上述觀點並不普遍。一些形式論者會斷言,標準集合論,按其定義,是研究ZFC有何後果。其未必反對研究其他系統有何後果,而僅覺得無理由偏好大基數公理。也有實在論者不以極大存在論英语ontological maximalism(即認為可存在之事皆存在)為接受大基數公理的合適動機,甚至相信大基數公理為假。此外,還有人指出,否定大基數公理並非「限制」,因為例如,雖然哥德爾可構全集 不認為存在可測基數,但 中也可以有傳遞集合模型認為存在可測基數。

參見编辑

參考資料编辑

  1. ^ Bell, J.L. Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory [布爾值模型及集合論的獨立性證明]. Oxford University Press. 1985. viii. ISBN 0-19-853241-5 (英语). 
  2. ^ Hamkins, Joel David. Nonlinearily in the hierarchy of large cardinal consistency strength [大基數的相容強度層級非線性] (PDF). 2021 [2021-08-20]. (原始内容存档 (PDF)于2021-08-20) (英语). 
  3. ^ Shelah, Saharon. The Future of Set Theory [集合論的未來]. 2002. arXiv:math/0211397v1  (英语). 
  4. ^ Morgenstern, Carl F. On the Ordering of Certain Large Cardinals [論某些大基數的次序]. The Journal of Symbolic Logic. 1979, 44 (4): 563–565. doi:10.2307/2273295 (英语). 
  5. ^ Maddy, Penelope. Believing the Axioms. II [相信公理之二] (PDF). The Journal of Symbolic Logic. 1988, 53 (3): 736–764 [2021-08-21]. doi:10.2307/2274569. (原始内容存档 (PDF)于2021-08-21) (英语).