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文氏圖的全集、餘集的關係

数学上,特别是在集合论数学基础的应用中,全类(若是集合,则为全集)大约是这样一个类,它(在某种程度上)包含了所有的研究对象和集合

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在特定场合下编辑

这个一般概念有數個精确的版本。最简单的可能就是,任意集合都可以是全集。当研究一个特定集合的时候,这个集合就是全集。若研究实数,则所有实数的集合实数线 就是全集。在1870年代和1880年代,康托尔第一次发展现代朴素集合论的概念以應用於实分析,這時他默认地使用著的全集就是实数线 。康托尔一开始关心的也只是 子集

这种全集概念在文氏图的应用中有所反映。在文氏图中,所有的操作按例都是在一个表示全集 的大长方形內進行。集合通常表示为圆形,但这些集合只能是 的子集。集合 补集则为长方形中表示 的圆形的外面的部分。严格地说,这是  相对补集' ;但在 是全集的场合下,这可以被当成是 绝对补集' 。同样的,有一個稱為空交集的概念,即个集合的交集(指没有集合,而不是空集)。要是没有全集,空交集就會是所有东西组成的集合,这一般被认为是不可能的;但有了全集,空交集可以被当成是有条件(即 )下的所有东西组成的集合。

在基于布尔格的代数方法研究基础集合理论时,这种惯例非常有用。但对公理化集合论的一些非标准形式并非如此,例如新基础集合论,这里所有集合的并不是布尔格,而仅仅是相对有补格。相反, 幂集,即 的所有子集组成的集合,是一个布尔格。上述的绝对补集是布尔格中的补运算;而空交集 则作为布尔格中的最大元(或空)。这里,适用于补运算、交运算和并运算(集合论中的并集)的德·摩根律成立,而且对空交和空并(即空集)也成立。

在一般数学中编辑

然而,當考虑過给定集合 的子集(在康托尔的例子中, ),可能就会进一步关心 的子集组成的集合。 (例如: 上的一个拓扑就是一个 的子集组成的集合。) 这些不同的 的子集组成的集合本身,一般而言并不是 的子集,却是 的幂集 的子集。当然,这还没有完;可以进一步考虑 的子集组成的集合所组成的集合,等等。另一个方向是:可以考慮笛卡尔积 ,或从 映射到其自身的函数。接著,還可以考慮笛卡尔积上的函数,或从 映射到 的函数,等等。

这样,尽管主要关心的是 ,仍然需要一个比 大很多的全集。顺着上面的思路,可能需要 上的超结构。这可以通过结构递归来定义,如下:

  •   自身。
  •    并集
  •    的并集。
  • 一般的,设   的并集。则 上的超结构,写作 ,为   ,等等,的并集;或
 

注意到,无论初始集合 如何,空集总是属于 。重定义空集为冯·诺伊曼序数 。则 ,是仅含有空集為元素的集合,属于 ;定义为冯·诺伊曼序数 。类似的, 属于 ,则  的并集 也属于该集合;定义为冯·诺伊曼序数 。重复这个过程,所有的自然数都通过其冯·诺伊曼序数在超结构中表现出来。然后,若  属于这个超结构,则 (这个集合表示了有序对 )也属于它。从而,这个超结构将包含各种所想要的笛卡尔积。而且,这个超结构也包含各种函数关系,因为他们可以被表示为笛卡尔积的子集。以及,还能够得到有序 n元组,表示定義域为冯·诺伊曼序数 的函数。等等。

所以,就算仅从 出发,也可以构造大量的用于数学研究的集合,它们都是在{}上的超结构裡的某個元素。但是,這樣 的每个元素都會是有限集合。每个自然数都属于 ,但“所有”自然数的集合 不属于 (尽管它是 的“子集”)。实际上, 上的超结构包含了所有的遗传有限集合。这样,它可以被认为是“有限主义数学的全集”。可以想像一下,假若19世纪的有限主义者利奥波德·克罗内克當時能使用到这个全集的話;他會相信每个自然数都存在,而集合 (一个"完全的无穷大")則不然。

然而,对一般的数学家(它们不是有限主义者)来说, 是不足够的,因为尽管  的子集,但 的幂集仍然不是。特别的,任意的实数集合都不是。所以,需要重新开始这个过程,来构造 。不過,為简单起见,就只用给出的自然数集合 来构造 ,即 上的超结构。这通常被认为是“一般数学的全集”。其意思是指,一般研究的所有數學對象,都已作為这个全集的元素而包含其中。例如:任何通常的实数的构造方式(比如通過戴德金分割)都會属于 。即使是非标准分析,也能够在自然数的一個非标准模型上的超结构中进行。

應當注意,这個部分在觀念上有些改变,这裡全集是任何被关心的集合 。上个部分中,被研究的集合是全集的子集;而现在,它们是全集的元素。这样尽管 是一个布尔格,但相应的 不是。因此,几乎不直接采用布尔格和文氏图来描述这种超结构式的全集;在上个部分中,它们被用来描述幂集式的全集。作为替代,可以采用独立的布尔格 ,这里  中任意相应的集合;则  的子集(实际上它属于 )。

在集合论中编辑

正式來說,可以給出一個精确定义,來說明為何 为一般數學的全集;这是策梅洛集合论模型。策梅洛集合论是由恩斯特·策梅洛最初在1908年提出的公理集合论。策梅洛集合论的成功完全在于它能够公理化"一般"数学,完成了康托尔在三十年之前开始的课题。但策梅洛集合论对进一步发展公理集合论和数学基础中的其他工作,特别是模型论,是不够的。举一个戏剧性的例子:上述超结构的描述并不能独立地在策梅洛集合论中完成! 最后一步,构造 成为一个无限并集,需要代换公理;这条公理在1922年被加入策梅洛集合论,成为如今通用的策梅洛-弗兰克尔集合论。所以,尽管一般数学可以在 进行, 的讨论則不再"一般",而是轉向元数学的領域。

但是,若在超级的集合论中,可以发现上述的超结构过程只是超限归纳法的开始。回到 (空集),并用(标准的)符号 表示 。则有  ,等等,和前面一样。但是,所谓"超结构"现在只是这个列中的下一项: ,这里 为第一个无穷序数。按照序数知识,得到:

 

可以对任意序数 定义 。所有 的并集为冯·诺伊曼全集 

 。注意,每个单独的 都是集合,但他们的并集 是一个真类。跟代换公理差不多时候加入ZF系统正则公理斷言,每个集合都属于 

参见编辑

参考书目编辑

  • Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag New York, Inc.

外部链接编辑