布莱克-舒尔兹模型

布莱克-舒尔斯模型(英語:Black-Scholes Model),简称BS模型,是一种为衍生性金融商品中的期权定价的数学模型,由美国经济学家麥倫·舒爾斯費雪·布萊克首先提出。此模型適用於沒有派發股利的歐式期權。罗伯特·C·墨顿其後修改了數學模型,使其於有派發股利時亦可使用,新模型被稱為布萊克-休斯-墨頓模型(英語:Black–Scholes–Merton model)。

「布莱克-舒尔兹模型」的各地常用別名
中国大陸布莱克-舒尔斯模型
港臺布萊克-休斯模型

此模型的應用是透過買賣價格過高或是過低的期權,並同時與持有的資產對沖,來消除可能潛在的風險,並因此而套利。此方法也被稱為「動態 Delta中性」。此公式问世后带来了期权市场的繁荣,並且也是在投資營行與對沖基金中被廣為使用的基礎模型。

雖然在很多情况下被使用者进行一定的改動和修正。很多经验测试表明这个公式足够贴近市场价格,然而也有会出现差异的时候,如著名的「波動率的微笑英语Volatility smile」。然而它假設價格的變動,會符合正态分布(即俗稱的鐘形曲線),但在金融市場上經常出現符合统计学厚尾現象的事件,這影響此公式的有效性。

1997年,麥倫·休斯和罗伯特·默頓憑借该模型获得诺贝尔经济学奖。費雪·布雷克不幸在1995年離世,因此未能獲獎。

重要假设编辑

BS模型假設金融市場存在最少一種風險資產(如股票)及一種無風險資產(現金債券)。

假設金融資產是:

假設金融市場是:

此外,假設期權是欧式期權,即只可在特定日期行权。

模型编辑

布萊克-舒爾茲方程编辑

對於有效期內不派發紅利的歐式期權,其價格遵從以下偏微分方程

 

把方程重寫成左右兩邊:

 

左方代表期權的時間值及與即期價格的凸性英语Convexity (finance)。右方代表期權長倉的無風險回報及 股相關資產短倉。

公式编辑

利用以下约束条件,可解認購期權(Call Option)的理論值。

 

認購期權的理論價格是:

 

其中:

 
 
ln:自然對數
C:選擇權初始合理价格;
L:選擇權交割价格;
S:交易所金融资产即期價格;
T:選擇權有效期;
r:连续复利计无风险利率H;
 :年度化方差
N():常態分佈变量的累积分布函数

派发股利的期權定价模型编辑

布莱克-舒尔斯模型假定在期權有效期内标的股票不派发股利。若派发股利需改用布萊克-休斯-墨頓模型,其公式如下:  

其中:

 
 
k:表示标的股票的年股利收益率(假设股利连续支付,而不是离散分期支付)
Ln:自然對數
C:期權初始合理价格;
L:期權交割价格;
S:交易所金融资产现价;
T:期權有效期;
r:连续复利计无风险利率H;
 :年度化方差
N():常態分布变量的累积分布函数

關聯項目编辑

外部連結编辑