累积分布函数

CDF,統計學名詞

累积分布函数(英語:Cumulative Distribution FunctionCDF),又叫分布函数,是概率密度函數的积分,能完整描述一個實随机变量X概率分佈

指数分布的累积分布函数
正态分布的累积分布函数

在標量連續分佈的情況下,它給出了從負無窮到概率密度函數下的面積。 累積分佈函數也用於指定多元隨機變量英语Multivariate random variable的分佈。

定義编辑

對於所有實數值的随机变量  ,累积分布函数定義如下[1]:p. 77

 

 

 

 

 

(Eq.1)

其中右侧表示随机变量 取值小于或等于 概率

對於 位于半闭区间  的概率,其中 ,因此定義是[1]:p. 84:

 

 

 

 

 

(Eq.2)

在上面的定義中,“小於或等於”符號“≤”是一種約定,不是普遍使用的(例如匈牙利文獻使用“<”),但這種區別對於離散分佈很重要。二項式分布泊松分布的表格的正確使用取決於此約定。此外,像數學家保羅·皮埃爾·萊維(Paul Lévy)的特徵函數反演公式等重要公式也依賴於“小於或等於”公式。

性質编辑

  • 有界性[2]
    •  
    •  
  • 單調性
    •  
  • 右連續性:
    •  

X之值落在一區間(a,b]之內的機率為

 

一隨機變數X的CDF與其PDF的關係為

 

反函数编辑

若累积分布函数 F 是连续的严格增函数,则存在其反函数 。累积分布函数的反函数可以用来生成服从该随机分布的随机变量。设若 是概率分布X的累积分布函数,并存在反函数 。若a是[0,1)区间上均匀分布的随机变量,则 服从X分布。

互补累积分布函数编辑

互补累積分布函数(complementary cumulative distribution function、CCDF),是对连续函数,所有大于a的值,其出现概率的和。

 

參見编辑

參考编辑

  1. ^ 1.0 1.1 Park, Kun Il. Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. 2018. ISBN 978-3-319-68074-3. 
  2. ^ 《概率論與數理統計教程》茆詩松 程依明 濮曉龍