希爾微分方程

希爾微分方程或是希爾方程是指以下的二階常微分方程

其中f(t)週期函數[1]

希爾微分方程得名自1886年發現此方程的天文學家喬治·希爾[2]

一般會假設f(t)的週期為π,則希爾方程可以改寫為f(t)的傅里叶级数:

希爾方程中特殊的例子有马丢方程(只對應n = 0, 1的情形)以及Meissner方程英语Meissner equation

在研究週期微分方程時,希爾微分方程是重要的範例。依照f(t)的不同,其解可能一直是有界的,也有可能其振盪的振幅會指數成長[3]。Hill微分方程的準確解可以由弗洛凱理論描述。其解也可以用Hill行列式表示。

希爾微分方程最早是應用在月球穩定性的研究,不過後來也用在許多其他的領域,包括四極桿質量分析器英语quadrupole mass spectrometer的建模,像是晶體中電子的一維薛定谔方程等。

參考資料编辑

  1. ^ Magnus, W.; Winkler, S. Hill's equation. Courier. 2013. ISBN 9780486150291. 
  2. ^ Hill, G.W. On the Part of the Motion of Lunar Perigee Which is a Function of the Mean Motions of the Sun and Moon. Acta Math. 1886, 8 (1): 1–36. doi:10.1007/BF02417081. 
  3. ^ Teschl, Gerald. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. 2012 [2016-12-10]. ISBN 978-0-8218-8328-0. (原始内容存档于2012-06-26). 

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