帕累托分布

帕累托分布(Pareto distribution)是以意大利经济学家维弗雷多·帕雷托命名的。 是从大量真实世界的现象中发现的幂定律分布。这个分布在经济学以外，也被称为布拉德福分布。

帕累托分布

概率密度函數
累積分佈函數
參數	xm > 0 k > 0
支撑集	$x\in [x_{\mathrm {m} };+\infty )\!$
概率密度函数	${\frac {k\,x_{\mathrm {m} }^{k}}{x^{k+1}}}\!$
累積分佈函數	$1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{k}\!$
期望值	${\frac {k\,x_{\mathrm {m} }}{k-1}}\!$，$k>1$
中位數	$x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{k}]{2}}$
眾數	$x_{\mathrm {m} }\,$
方差	${\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}k}{(k-1)^{2}(k-2)}}\!$，$k>2$
偏度	${\frac {2(1+k)}{k-3}}\,{\sqrt {\frac {k-2}{k}}}\!$，$k>3$
峰度	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}}\!$，$k>4$
信息熵	$\ln \left({\frac {k}{x_{\mathrm {m} }}}\right)-{\frac {1}{k}}-1\!$
動差生成函數	未定义
特性函数	$k(-ix_{\mathrm {m} }t)^{k}\Gamma (-k,-ix_{\mathrm {m} }t)\,$

在帕累托分布中，如果X是一个随机变量， 则X的概率分布如下面的公式所示：

${\rm {P}}(X>x)=\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-k}$

其中x是任何一个大于x_min的数，x_min是X最小的可能值（正数），k是为正的参数。帕累托分布曲线族是由两个数量参数化的：x_min和k。分布密度则为

$p(x)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{if }}x<x_{\min };\\\\{k\;x_{\min }^{k} \over x^{k+1}},&{\mbox{if }}x>x_{\min }.\end{matrix}}\right.$

帕累托分布属于连续概率分布。 “齊夫定律”, 也称为“zeta 分布”, 也可以被认为是在离散概率分布中的帕累托分布。 一个遵守帕累托分布的随机变量的期望值为 $x_{\min }\;k \over k-1$ (如果 $k\leq 1$, 期望值为无穷大) 且随机变量的标准差为 ${x_{\min } \over k-1}{\sqrt {k \over k-2}}$ (如果 $k\leq 2$, 标准差不存在)。

被认为大致是帕累托分布的例子有：

• 财富在个人之间的分布
• 人类居住区的大小
• 对维基百科条目的访问
• 接近绝对零度时，玻色–爱因斯坦凝聚的团簇
• 在互联网流量中文件尺寸的分布
• 油田的石油储备数量
• 龙卷风带来的灾难的数量

参见

• 帕累托法则
• 帕累托插值

外部链接

• William J. Reed: 帕累托，吉普夫和其他幂次定律
• Guerriero, V. (2012). "Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics". Journal of Modern Mathematics Frontier (JMMF) 1: 21–28.