矩生成函數

機率論用語

概率論統計學中,一個實數值隨機變量動差母函數moment-generating function)又稱動差生成函數亦被稱作动差,矩生成函數是其概率分佈的一種替代規範。 因此,與直接使用概率密度函數累積分佈函數相比,它為分析結果提供了替代途徑的基礎。 對於由隨機變量的加權和定義的分佈的矩生成函數,有特別簡單的結果。 然而,並非所有隨機變量都具有矩生成函數。

顧名思義,矩生成函數可用於計算分佈的矩:關於 0 的第 n 個矩是矩生成函數的第 n 階導數,在 0 處求值。

除了實值分佈(單變量分佈),矩生成函數可以定義為向量或矩陣值的隨機變量,甚至可以擴展到更一般的情況。

特徵函數不同,一個實數值分佈的矩生成函數並不總是存在。 分佈的矩生成函數的行為與分佈的性質之間存在關係,例如矩的存在。

定義编辑

隨機變數X 的動差母函數定義為:

 

前提是这个期望值存在。

计算编辑

如果X具有连续概率密度函数f(x),则它的動差母函數由下式给出:

 
 
 

其中 是第i動差 f(x)的双边拉普拉斯变换

不管概率分布是不是连续,动差生成函数都可以用黎曼-斯蒂尔吉斯积分给出:

 

其中F累积分布函数

如果X1X2、……、Xn是一系列独立的随机变量,且

 

其中ai是常数,则Sn的概率密度函数是每一个Xi的概率密度函数的卷积,而Sn的动差生成函数则为:

  。

对于分量为实数向量值随机变量X,动差生成函数为:

 

其中t是一个向量, 数量积

意义编辑

只要动差生成函数在t = 0周围的开区间存在,第n个矩为:

  。

如果动差生成函数在这个区间内是有限的,则它唯一决定了一个概率分布。

一些其它在概率论中常见的积分变换也与动差生成函数有关,包括特征函数以及概率生成函数

累积量生成函数是动差生成函数的对数。

例子编辑

下面是一些矩生成函數和特徵函數的例子,用於比較。 可以看出,特徵函數是矩生成函數 存在時的威克轉動(Wick rotation)

分布 矩生成函數   特徵函數  
退化      
伯努利      
幾何    
 
 
二項式      
负二项  [註 1]  [1]  
卜瓦松      
均勻(連續型)      
均勻(離散型)      
拉普拉斯      
正态      
卡方(Chi-squared)      
Noncentral chi-squared      
伽玛(Gamma)      
指数(Exponential)      
多元正态      
柯西(Cauchy)   不存在  
Multivariate Cauchy

 [2]

不存在  

参见编辑

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  1. ^ 此處定義為:每次獨立隨機試驗的成功率為 時,第 次成功前的失敗次數的分佈。定義上的差異詳見负二项分布

参考文献编辑

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2022-11-21] (英语). 式(11)。
  2. ^ Kotz et al.[需要完整来源] p. 37 using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution