积分变换

積分變換(integral transform)是數學中作用于函数的算子,用以處理微分方程等問題。常見的有傅里葉變換拉普拉斯變換等。

概述编辑

以一變數 函數   為例,  經過一積分轉換   得到  

 

其中   是个确定的二元函数, 稱為此積分變換的核函數(kernel function)或(nucleus)。当选取不同的积分域和变换核时,就得到不同名称的积分变换。  称为象原函数,  称为   的象函数,在一定条件下,它们是一一对应而变换是可逆的。

有些積分變換有相對應的反積分變換(inverse transform),使得

 

  稱為反核(inverse kernel)。

積分變換表编辑

积分变换 符号 核K f(t) t1 t2 反核K−1 u1 u2
阿贝尔积分变换英语Abel transform F, f   u     [1] t  
相关 Legendre 变换(Associated Legendre transform)            
傅里叶变换                
傅里叶正弦变换     on  , real-valued          
傅里叶余弦变换     on  , real-valued 0     0  
汉克尔变换   0     0  
Hartley变换英语Hartley transform              
Hermite变换英语Hermite_transform            
希尔伯特变换              
Jacobi变换英语Jacobi_transform            
Laguerre变换英语Laguerre_transform            
拉普拉斯变换   e−ut 0        
Legendre变换英语Legendre_transform_(integral_transform)            
梅林变换   tu−1 0    [2]    
双边拉普拉斯变换   e−ut          
泊松核英语Poisson kernel   0
拉东变换    
魏尔斯特拉斯变换英语Weierstrass transform              
X-ray变换英语X-ray_transform    
狄拉克δ函数            

在反積分轉換中, 常數c 由積分函數決定。

参见编辑

  1. ^ Assuming the Abel transform is not discontinuous at  .
  2. ^ Some conditions apply, see Mellin inversion theorem for details.