若在[0, 1]上定义的f(x)满足下列四个条件,则f(x)即为康托尔函数:[1]
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下面我们构造一个函数序列{fn(x)},这个序列将收敛于康托尔函数:
首先定义
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接下来,对于每个正整数n,函数fn+1(x)都由函数fn(x)定义:
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检查 fn(x)是否每个点都收敛于之前定义的康托尔函数,我们可以发现,
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设f(x)是极限函数, 那么对于任意非负整数n都有,
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另外可以注意到只要满足f0(0) = 0, f0(1) = 1 且f0 有界,起始函数f0(x)具体是什么函数并不重要。
- ^ Eric W., Weisstein. Cantor Function. MathWorld. [2014-01-23]. (原始内容存档于2019-02-14).