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数学中,微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的。

当某些函数的自变量有一个微小的改变时,函数的变化可以分解为两个部分。

一个部分是线性部分:在一维情况下,它正比于自变量的变化量,可以表示成和一个与无关,只与函数有关的量的乘积;在更广泛的情况下,它是一个线性映射作用在上的值。

另一部分是比更高阶的无穷小,也就是说除以后仍然会趋于零。当改变量很小时,第二部分可以忽略不计,函数的变化量约等于第一部分,也就是函数在处的微分,记作。如果一个函数在某处具有以上的性质,就称此函数在该点可微。

不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微,便称函数在该点不可微。

在古典的微积分学中,微分被定义为变化量的线性部分,在现代的定义中,微分被定义为将自变量的改变量映射到变化量的线性部分的线性映射。这个映射也被称为切映射给定的函数在一点的微分如果存在,就一定是唯一的。[來源請求]

目录

一元微分编辑

定义编辑

 
函数在一点的微分。其中红线部分是微分量 ,而 加上灰线部分后是实际的改变量 

函数 在某区间 内有定义。对于 内一点 ,当 变动到附近的 (也在此区间内)时,如果函数的增量 可表示为  (其中 是不依赖于 常数),而 是比 高阶的无穷小,那么称函数 在点 可微的,且 称作函数在 相应于自变量增量 的微分,记作 ,即   线性主部[1]:141

通常把自变量 的增量 称为自变量的微分,记作 ,即 

和导数的关系编辑

微分和导数是两个不同的概念。但是,对一元函数来说,可微与可导是完全等价的概念[1]:141。可微的函数,其微分等于导数乘以自变量的微分 ,换句话说,函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。于是函数 的微分又可记作 [2]

几何意义编辑

 曲线 上的点 在横坐标上的增量, 曲线在点 对应 在纵坐标上的增量, 是曲线在点 切线对应 在纵坐标上的增量。当 很小时,  要小得多(高阶无穷小),因此在点 附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

例子编辑

设有函数 ,考虑它从某一点 变到 。这时,函数的改变量 等于:

 
 

其中的线性主部: ,高阶无穷小是 。 因此函数 在点 处的微分是 。函数的微分与自变量的微分之商 ,等于函数的导数。

 ,尤其 
 

以下有一例子: 當方程式為 是,就會有以下的微分過程。

 
 
 
 

微分法则编辑

和求导一样,微分有类似的法则。例如,如果设函数  可微,那么:

  •  
  •  
  •  
  • 若函数 可导,那么 [1]:139

极值编辑

多元函数微分编辑

当自变量是多元变量时,导数的概念已经不适用了(尽管可以定义对某个分量的偏导数),但仍然有微分的概念。

定义编辑

 是从欧几里得空间Rn(或者任意一个内积空间)中的一个开集 射到Rm的一个函数。对于 中的一点 及其在 中的邻域 中的点 。如果存在线性映射 使得对任意这样的 ,

 

那么称函数 在点 处可微。线性映射 叫做 在点 处的微分,记作 

如果 在点 处可微,那么它在该点处一定连续,而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别,多元函数的微分也叫做全微分全导数

当函数在某个区域的每一点 都有微分 时,可以考虑将 映射到 的函数:

 

这个函数一般称为微分函数[3]

性质编辑

  • 如果 是线性映射,那么它在任意一点的微分都等于自身。
  • Rn(或定义了一组标准基的内积空间)裡,函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画:
 是从Rn射到Rm的函数, ,那么:
 

具体来说,对于一个改变量: ,微分值:

 
  • 可微的必要条件:如果函数 在一点 处可微,那么雅克比矩阵的每一个元素 都存在,但反之不真[4]:76
  • 可微的充分条件:如果函数 在一点 的雅克比矩阵的每一个元素 都在 连续,那么函数在这点处可微,但反之不真[4]:77

例子编辑

函数 是一个从 射到 的函数。它在某一点 的雅可比矩阵为:

 

微分为: ,也就是:

 

微分与微分形式编辑

如果说微分是导数的一种推广,那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点 给出一个近似描述函数性质的线性映射 ,而微分形式对区域 内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式 。在坐标记法下,可以写成:

 

其中的  -射影算子,也就是说将一个向量 射到它的第 个分量 的映射。而 是满足:

 

k-形式。

特别地,当 是一个从Rn射到R 的函数时,可以将 写作:

 

正是上面公式的一个特例[5]

参见编辑

参考来源编辑

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 欧阳光中 姚允龙 周渊 编. 《数学分析(上册)》. 复旦大学出版社. 2003. ISBN 7309035704. 
  2. ^ 梁子杰. 「可微」還是「可導」? (PDF). 數學教育. [永久失效連結]
  3. ^ 微分函数. 逢甲大学网路教学实验室. [2009-12-24]. (原始内容存档于2010-05-07). 
  4. ^ 4.0 4.1 徐森林,薛春华. 《数学分析(第二册)》. 清华大学出版社. 2005. ISBN 978-7-302-13141-0. 
  5. ^ B.A.卓里奇 著,蒋铎、钱佩玲、周美珂、邝荣雨 译. 《数学分析》第二卷. 高等教育出版社. 2006. ISBN 978-7-040-20257-1. 第175-183页.
  • 齐民友. 《重温微积分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0. 
  • Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.