闭形式和恰当形式

(重定向自恰当形式

数学,特别是向量分析微分拓扑中,一个闭形式 微分算子 ,即 微分形式;而恰当形式(恰当微分形式) 是微分算子 ,即存在某个微分形式 使得 称为关于 的一个“本原”。

因为 ,所以恰当形式一定是闭形式,但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考虑一个闭形式是不是恰当的,可由不同的条件检测拓扑信息來得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义,因为 将阶数提高 1,不过可以规定恰当 0-形式就是零函数

当两个闭形式的差是一个恰当形式时,称它们为相互上同调的。这便是说,如果 是闭形式,且存在某个 使得

则我们说 是互相上同调的。恰当形式经常称为上同调于零。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调类中的一个元素;对这样的类作一般性研究称为上同调理论

上的微分形式已经为十九世纪的数学物理所熟知。在平面上,0-形式就是函数,2-形式是函数乘以基本面积元 ,故只有 1-形式

具有真正的意义,其外导数

这里下标表示偏导数。从而 “闭”的条件是

是一个函数时则

“恰当形式是闭形式”便是关于 xy 二阶导数的对称性的一个推论,这可以直接推广到高维情形。

上,恰当 1-形式相当于有势场(保守场),闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析的语言来说相当于有势场一定是无旋场。

庞加莱引理编辑

庞加莱引理断言:如果   可缩开子集,对任何整数  ,任何定义在   上的光滑闭  -形式   是恰当的(这只在   有内容)。

可缩意味着存在同伦映射    形变为一点。从而任何   中的闭链   都是某个“锥”的边缘;我们可以取锥为   在同伦下的像。这个性质的对偶版本给出了庞加莱引理。

更确切地,我们将   与柱   联系起来,分别通过映射   与顶端和底面等价。在微分形式上,诱导拉回映射   上链同伦联系:

 

 表示   上的  -形式,映射 是柱映射的对偶,定义为:

 

这里   是一个不含   的单项  -形式。所以如果  到一点 的同伦形变,那么

 

在形式上:

 

将这两个等式代入上链同伦等式便证明了庞加莱引理。

这个引理的一个推论是德拉姆上同调是同伦不变量。庞加莱引理的本质是局部的,大范围的结果就是德拉姆定理

不可缩空间不一定有平凡的德拉姆上同调。例如,在 参数化圆周 上,闭 1-形式 不是恰当的(注意 不能定义为整个  上的函数,但 是一个良定的闭形式)。这是因为恰当形式在圆周上积分为 0,但 在圆周上积分是 

参考文献编辑

  • Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7 
  • 陈维桓, 微分流形初步 2, 高等教育出版社, 2001年, ISBN 7-04-009921-7