抽象解析数论

抽象解析数论(abstract analytic number theory)是数学的一个分支,把传统的解析数论的观点和方法应用于各种不同的数学领域中。以经典的素数定理为原型,重点关注抽象渐进分布的结果。该理论由数学家John Knopfmacher,Arne Beurling等人提出。

算术半群编辑

该理论涉及到一个基本概念,算术半群,是满足以下性质的交换幺半群G:

  • G有一个可数子集P,使得G中的每个元素 有唯一分解 ,其中 是P中不同的元素, 是正整数,并且不考虑顺序。P的元素称为G的素元(prime)。
  • 存在G上的实值映射 ,称为范数(norm),使得
    1.  
    2. 对任意  
    3. 对任意  
    4. 对任意实数 ,G中范数不超过x的元素的总个数是有限的。即 

加法数系编辑

若算术半群的底部幺半群G是自由的,则称为加法数系(additive number system)。

若范数是整数值的,则可以在G上定义计数函数  ,其中 是P中范数为n的元素的个数, 是G中范数为n的元素的个数。令 为对应的形式幂级数。可得基本恒等式

 

G的收敛半径定义为幂级数A(x)的收敛半径

基本恒等式还有另一种形式

 

例子编辑

  • 算术半群的原型是正整数的乘法半群 ,素元就是通常的素数 。范数就是 ,因此 ,即不超过x的最大整数。
  • 设K是一个代数数域,即有理数域 的有限扩张,K中的整数组成环 ,则 的所有非零理想组成的集合G是算术半群,单位元是 ,理想 的范数等于商环 的基数。这种情况下,与素数定理对应的推广就是兰道素理想定理英语Landau prime ideal theorem,描述了 中的理想的渐进分布。

方法与技巧编辑

算术函数与ζ函数的用处十分广泛。可以將传统的解析数论中算术函数与ζ函数的各种方法和技巧,推广到任意的算术半群上(可能还要满足几个附加的公理)。例如下面公理:

  • A公理:存在正数A与 ,以及常数 ,使得 

对任何满足A公理的算术半群,有以下抽象素数定理

 

其中 是P中满足 的元素p的总个数。

另见编辑

  • A公理,动力系统的一种性质

参考文献编辑

  • Burris, Stanley N. (2001). Number theoretic density and logical limit laws. Mathematical Surveys and Monographs. 86. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2666-2. Zbl 0995.11001.
  • Knopfmacher, John (1990) [1975]. Abstract Analytic Number Theory (2nd ed.). New York, NY: Dover Publishing. ISBN 0-486-66344-2. Zbl 0743.11002.
  • Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge studies in advanced mathematics. 97. p. 278. ISBN 0-521-84903-9. Zbl 1142.11001.