# 素數定理

${\displaystyle \pi (x)\approx {\frac {x}{\ln \,x}}}$

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-{\frac {1}{15}}{\sqrt {\ln \,x}}}\right)}$，當x 趨近∞。

## 敘述

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\frac {x}{\ln(x)}}}=1}$

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}$

${\displaystyle p_{n}\sim n\ln \,n}$

## 關於 .mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}π(x)、x / ln x 和 li(x) 的數值

${\displaystyle x}$  ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}(x)}$ [1] ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}(x)-{\frac {x}{\ln x}}}$ [2] ${\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {\pi }}(x)}{\frac {x}{\ln x}}}}$  ${\displaystyle {\rm {Li}}(x)-{\boldsymbol {\pi }}(x)}$ [3] ${\displaystyle {\frac {x}{{\boldsymbol {\pi }}(x)}}}$
10 4 −0.3 0.921 2.2 2.500
102 25 3.3 1.151 5.1 4.000
103 168 23 1.161 10 5.952
104 1,229 143 1.132 17 8.137
105 9,592 906 1.104 38 10.425
106 78,498 6,116 1.084 130 12.740
107 664,579 44,158 1.071 339 15.047
108 5,761,455 332,774 1.061 754 17.357
109 50,847,534 2,592,592 1.054 1,701 19.667
1010 455,052,511 20,758,029 1.048 3,104 21.975
1011 4,118,054,813 169,923,159 1.043 11,588 24.283
1012 37,607,912,018 1,416,705,193 1.039 38,263 26.590
1013 346,065,536,839 11,992,858,452 1.034 108,971 28.896
1014 3,204,941,750,802 102,838,308,636 1.033 314,890 31.202
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452 1.031 1,052,619 33.507
1016 279,238,341,033,925 7,804,289,844,393 1.029 3,214,632 35.812
1017 2,623,557,157,654,233 68,883,734,693,281 1.027 7,956,589 38.116
1018 24,739,954,287,740,860 612,483,070,893,536 1.025 21,949,555 40.420
1019 234,057,667,276,344,607 5,481,624,169,369,960 1.024 99,877,775 42.725
1020 2,220,819,602,560,918,840 49,347,193,044,659,701 1.023 222,744,644 45.028
1021 21,127,269,486,018,731,928 446,579,871,578,168,707 1.022 597,394,254 47.332
1022 201,467,286,689,315,906,290 4,060,704,006,019,620,994 1.021 1,932,355,208 49.636
1023 1,925,320,391,606,803,968,923 37,083,513,766,578,631,309 1.020 7,250,186,216 51.939
1024 18,435,599,767,349,200,867,866 339,996,354,713,708,049,069 1.019 17,146,907,278 54.243
1025 176,846,309,399,143,769,411,680 3,128,516,637,843,038,351,228 1.018 55,160,980,939 56.546
OEIS A006880 A057835 A057752

## 歷史

1797年至1798年間，法國數學家勒讓德根據上述的質數表猜測，${\displaystyle \pi (x)}$ 大約等於 ${\displaystyle {\frac {x}{A\ln x+B}}}$ ，其中${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ 是未知的函數。勒讓德於1808年出版一本關於數論的書的第二版，書中他給出更精確的猜測：${\displaystyle A=1}$ ${\displaystyle B=-1.08366}$ 。根據高斯自己在1849年的回憶，他在15歲或16歲(1792或1793年)的時候就已經考慮過類似的問題了[4]。1832年，狄利克雷經過跟高斯的交流之後，給出了一個新的逼近函數 ${\displaystyle li(x)}$ ，(事實上他是用一個有點不一樣的級數表達式)。勒讓德和狄利克雷的式子皆等價於現在的版本，但如果考慮逼近式與 ${\displaystyle \pi (x)}$  的差，而不是比值的話，狄利克雷的式子是準確許多的。

1859年，黎曼提交了一篇關於質數分布的非常重要的報告《》，這也是黎曼在這個領域的唯一一篇文章。黎曼在報告中使用了創新的想法，將${\displaystyle \zeta }$ 函數的定義解析延拓到整個複數平面，並且將質數的分布與${\displaystyle \zeta }$ 函數的零點緊密的聯繫起來。因此，這篇報告是歷史上首次用複分析的方法研究實函數 ${\displaystyle \pi (x)}$ 。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家夏尔-让·德拉瓦莱·普桑先後獨立給出證明。兩個證明延著黎曼的思路繼續拓展，且都使用複分析的工具，其中的關鍵步驟是證明如果複數${\displaystyle s}$ 可以寫成 ${\displaystyle 1+it}$  的形式，且 ${\displaystyle t>0}$ ，則 ${\displaystyle \zeta (s)\neq 0}$ [7]

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln \,x\right)}$

## 參考資料

1. ^ A006880
2. ^ A057835
3. ^ A057752
4. ^ C. F. Gauss. Werke, Bd 2, 1st ed, 444–447. Göttingen 1863.
5. ^ Costa Pereira, N. A Short Proof of Chebyshev's Theorem. American Mathematical Monthly. August–September 1985, 92 (7): 494–495. JSTOR 2322510. doi:10.2307/2322510.
6. ^ Nair, M. On Chebyshev-Type Inequalities for Primes. American Mathematical Monthly. February 1982, 89 (2): 126–129. JSTOR 2320934. doi:10.2307/2320934.
7. ^ Ingham, A. E. The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press. 1990: 2–5. ISBN 978-0-521-39789-6.
8. ^ Newman, Donald J. Simple analytic proof of the prime number theorem. American Mathematical Monthly. 1980, 87 (9): 693–696. JSTOR 2321853. MR 0602825. doi:10.2307/2321853.
9. ^ Zagier, Don. Newman's short proof of the prime number theorem. American Mathematical Monthly. 1997, 104 (8): 705–708 [2019-05-03]. JSTOR 2975232. MR 1476753. doi:10.2307/2975232. （原始内容存档于2021-04-20）.