拉格朗日括号

拉格朗日括号是一种与泊松括号关系密切的运算,1808年至1810年间由约瑟夫·拉格朗日最早用于经典力学之中。不过与泊松括号相比,拉格朗日括号在今日已不常使用。

定义编辑

令(q1, …, qn, p1, …, pn)为相空间中的正则坐标,且每一个坐标都可表示为两个变量uv的函数,则uv的拉格朗日括号为:

 

性质编辑

  • 拉格朗日括号与特定的正则坐标无关(q, p)。如取另一组正则坐标(Q,P) = (Q1, …, Qn, P1, …, Pn),满足正则变换
 

此时拉格朗日括号不变,即

 

因而通常情况下会省略下标。

  • 如果2n维相空间W上有辛形式Ωu1,…,u2nW上的一个坐标系,那么正则坐标(q,p)可表示为u的函数,而拉格朗日括号所组成的矩阵
 

表示在]Ω在坐标系u下的分量,可看作一个张量。这个矩阵是由泊松括号所组成的矩阵

 

逆矩阵

  • 由上述性质可以得到,相空间上的坐标(Q1, …, Qn, P1, …, Pn)是正则的,当且仅当它们之间的拉格朗日括号有如下形式:
 

参见编辑

参考文献编辑

  • Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover (1986), ISBN 0-486-65067-7.
  • Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange [The origins of symplectic calculus in Lagrange's work], L'Enseign. Math. (2) 44 (1998), no. 3-4, 257--277. MR1659212