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擴展實數線

(重定向自擴展實軸

擴展實數線又稱廣義實數,(英语:extended real number),由實數線 加上 得到(注意 并不是实数),写作 [−∞, +∞]ℝ ∪ {−∞, +∞}。在不會混淆時,符號 +∞ 常簡寫成 。扩展的實數線在研究数学分析,特别是积分时非常有用。

扩展编辑

对任意实数 ,定义 ,扩展的实数轴就成了一个全序集。这种集合有种非常好的性质,就是其所有子集都有上确界下确界:这是一个完备格。全序关系在 上引入了拓扑。在这个拓扑中,集合  邻域,当且仅当它包含集合 ,这里 是某个实数。 的邻域类似。 是个紧致豪斯多夫空间,与单位区间 同胚

 上的算术运算可以部分地扩展到 ,如下:

 

通常不定义 。同时 也不定义为 (因為這樣忽視了 ),这些规则是根据无穷极限的性质确定的。

注意在这些定义下, 不是,也不是

性质编辑

经过上述定义,扩展的实数轴仍有很多实数的性质:

  •   相等或同时没有定义。
  •   相等或同时没有定义。
  •   相等或同时没有定义。
  •   相等或同时没有定义。
  •   若都有定义则相等。
  •    都有定义,则 
  •     都有定义,则 

通常只要表达式都有定义,所有算术性质在 上都成立。

使用极限,一些函数可以自然地扩展到 。例如可以定义 等。

参见编辑