斯托尔兹-切萨罗定理

定理

斯托尔兹-切萨罗定理(英語:Stolz–Cesàro theorem)是数学分析学中的一個用于證明數列收歛的定理。该定理以奥地利人奥托·施托尔茨英语Otto Stolz意大利人恩纳斯托·切萨罗命名。

内容编辑

  为兩個實數數列。若 為从某项开始严格单调無界正數數列,且有穷极限

 

存在,則

 

也存在且等于

用法说明编辑

该定理虽然主要被用来处理数列不定型极限[1][2],但该定理在没有 这一限制条件时也是成立的[2]。虽然该定理通常是以分母 為正數數列的情形加以叙述的,但注意到该定理对分子 的正负没有限制,所以原则上把对数列 的限制条件替换为“严格单调递减且趋于负无穷大”也是没有问题的。

羅必达法则的迭代用法类似,在尝试应用斯托尔兹-切萨罗定理考察数列的极限时,如果发现两个数列差分的商仍然是不定型,可以尝试再使用1次该定理,考察其2阶差分之商的极限。[2]

应当注意,当 不存在时,不能认定 必定也不存在。换句话说,确实有“有穷极限 存在,但有穷极限 不存在”的情况(详见下文针对此逆命题所举的反例)。

直观解释编辑

利用与折线斜率的类比,该定理具有直观的几何意义。[2]

相关命题编辑

这个用于解决数列不定型极限的定理与用于解决函数不定型极限的洛必达法则在形式上非常类似。求数列的差分对应于求函数的导函数,斯托尔兹-切萨罗定理就相当于是洛必达法则的离散化版本[2]。但在类比记忆时应当注意,斯托尔兹-切萨罗定理要求数列要具有严格的单调性(或者至少当项数足够大时,要具有严格单调性),而洛必达法则没有对函数的单调性作出要求;洛必达法则要求函数在所考察点的邻域上具有可求导性,但斯托尔兹-切萨罗定理对数列不存在类似限制(数列没有“可差分性”一说)。并非所有的函数都可以进行求导运算,但任何数列都是可以进行差分运算的。

此定理的逆命题不成立。也即当满足条件的 存在时, 未必存在。如设  ,这2个正实数数列都是严格单调递增的且发散无穷大。易知 存在,且数值为1。但是  时是震荡的,即此差分之商的极限值不存在。目前可找出的例子都是借助震荡型数列构造的,而用于说明洛必达法则的逆命题不成立的例子也用到了震荡型的函数。

推广编辑

该定理的一个推广形式如下[來源請求]

如果  是两个数列,而 是单调无界的,那么
 

参考资料编辑

  1. ^ 张筑生. 数学分析新讲 第1册. 北京大学出版社. 1990: 88. ISBN 9787301008461. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 刘利刚. 从Stolz定理到L' Hospital法则 (PDF). 浙江大学数学系. [2015-01-11]. (原始内容 (pdf)存档于2016-03-08) (中文(中国大陆)‎). 

外部链接编辑