洛必达法则

使用衍生工具幫助評估涉及不確定形式的限制的法則
(重定向自罗必达法则

洛必達法則(有的教科书称为罗比塔法则[1])(法語:Règle de L'Hôpital,英語:L'Hôpital's rule)是利用導數計算具有不定型極限方法。該法則以法國數學家纪尧姆·德·洛必达的名字命名,但實际上是由瑞士數學家約翰·伯努利[2]所發現。

敘述 编辑

洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值。令 擴展實數),兩函數 在以 為端點的開區間可微, ,並且 

如果    其中一者成立,則稱欲求的極限 未定式

此時洛必达法则表明:

 

對於不符合上述分數形式的未定式,可以通過運算轉為分數形式,再以本法則求其值。以下列出數例:

欲求的極限 條件 轉換為分數形式的方法
(1)      
(2)     
(3)   
 
 
(4)     

注意:不能在数列形式下直接用洛必達法則,因為對於離散變量是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹-切萨罗定理(Stolz-Cesàro theorem)作为替代。

證明 编辑

下面仅给出   的证明。

设两函數  在a 點附近连续可导,  都在 a 點連續,且其值皆為 0 ,

 

为了叙述方便,假设两函数在 a 点附近都不为0。另一方面,两函数的导数比值在 a 点存在,记为

 

由極限的定义,对任何一个 (試想像y軸),都存在 (試想像x軸),使得对任意的 ,都有:

 

而根据柯西中值定理(逆定理),对任意的 ,都存在一个介于  之间的数 ,使得:

   
于是,  

因此,

极限 

例子 编辑

   
   
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
   
 
   
 
 

参阅 编辑

参考文献 编辑

来源 编辑

参考 编辑

  1. ^ 沈忠良, 黄葆华; 张伟明. 通信原理简明教程. 机械工业. 2012: 14. ISBN 978-7-111-37784-9. 
  2. ^ Eli Maor. The Story of a Number. Princeton University Press. : 116. ISBN 0-691-05854-7.