差分

導數的離散類比

差分,又名差分函數差分運算,一般是指有限差分(英語:Finite difference),是数学中的一个概念,将原函数 映射。差分運算,相應於微分運算,是微积分中重要的一个概念。

定义 编辑

差分分为前向差分逆向差分

前向差分 编辑

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数 ,如果在等距节点:

 
 

则称 ,函数在每个小区间上的增量  一阶差分。[1]

在微积分学中的有限差分(finite differences),前向差分通常是微分离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当 多项式时,前向差分为Delta算子(称 为差分算子[2]),一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低 1。

逆向差分 编辑

对于函数 ,如果:

 

则称  的一阶逆向差分。

差分的阶 编辑

一阶差分的差分为二阶差分,二阶差分的差分为三阶差分,其余类推。记:

   阶差分。

如果

   
 

根据数学归纳法,有

 

其中, 二项式系数

特别的,有

 

前向差分有时候也称作数列二项式变换

差分的性质 编辑

对比解析函数中的微分的属性,差分的性质有:

 
  • 线性:如果    为常数,则有
 
 
 
 
 
 
 
 
 

牛頓級數 编辑

 
自然哲學的數學原理》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應著6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式也叫做牛頓級數,由“牛頓前向差分方程”的項組成,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五[3],此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。

單位步長情況 编辑

 值間隔為單位步長 時,有:

 

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式

 

二項式係數,其中的 是“下降階乘冪”(另一種常見的標記法為 ),空積 被定義為 。這裡的 是“前向差分”的特定情況,即間距 

實例 编辑

為了展示牛頓的這個公式是如何使用的,舉例數列 1, 4, 9,16...的前幾項,可以找到一個多項式重新生成這些值,首先計算一個差分表,接著將對應於x0(標示了下劃線)的這些差分代換入公式,

 

一般情況 编辑

對於x值間隔為非一致步長的情況,牛頓計算均差,在間隔一致但非單位量時,即上述前向差分的一般情況,插值公式為:

 

在最終公式中hk被消去掉了,對於非一致步長的情況則不會出現階乘。

参考 编辑

  1. ^ 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P204.
  2. ^ 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P205.
  3. ^ Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1

参见 编辑

参考文献 编辑