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極小多項式

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(重定向自最小多項式

抽象代數中,一個上的代數元 極小多項式(或最小多項式)是滿足 的最低次首一多項式(多項式內最高次項之係數為1) 。此概念對線性代數代數擴張的研究極有助益。

形式定義编辑

  為一个域,  為有限維  -代數。對任一元素  ,集合   張出有限維向量空間,所以存在非平凡的線性關係 :

 

可以假設  ,此時多項式   滿足  。根據多項式環裡的除法,可知這類多項式中只有一個次數最小者,稱之為  極小多項式

由此可導出極小多項式的次數等於  ,而且   可逆若且唯若其極小多項式之常數項非零,此時   可以表成   的多項式。

矩陣的極小多項式编辑

考慮所有   矩陣構成的  -代數  ,由於  ,此時可定義一個  矩陣之極小多項式,而且其次數至多為  ;事實上,根據凱萊-哈密頓定理,可知其次數至多為  ,且其根屬於該矩陣的特徵值集。

極小多項式是矩陣分類理論(若尔当标准型有理標準形)的關鍵。

極小多項式與代數擴張编辑

  有限擴張,此時可視   為有限維  -代數。根據的性質,極小多項式必為素多項式。元素的跡數範數等不變量可以從極小多項式的係數讀出。