有序向量空间
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在数学中,有序向量空间(ordered vector space)是带有偏序的向量空间,并且偏序与向量空间的运算是相容的。又称偏序向量空间(partially ordered vector space)。
定义 编辑
给定实数 上的向量空间 以及集合 上的预序 ,如果对 中任意的 以及非负实数 ,以下公理成立
则有序对 称为预序向量空间(preordered vector space)。若 还是偏序,则 称为有序向量空间。这两条公理说明,平移与正的位似变换是序结构的自同构,并且映射 是到对偶序结构的同构。有序向量空间关于其加法运算构成有序群。
正锥 编辑
给定预序向量空间 ,子集 是一个凸锥,称为 的正锥(positive cone)。若 是有序向量空间,则 ,因此 还是真锥。
若 是实向量空间, 是 的真凸锥,则存在唯一的偏序使得 成为有序向量空间并且 。这个偏序由以下方式给出
当且仅当
因此,向量空间 上(与向量空间结构相容)的偏序与 的真凸锥之间存在一一对应。
例子 编辑
- 实数关于通常的顺序构成有序向量空间。
- 以下关系都是 上的偏序,且按照从弱到强的顺序排列。
只有第二个序是闭集(作为 的子集)。
备注 编辑
偏序向量空间中的区间是凸集。设 ,由上面的两个公理可以得出:如果 ,则 。
参见 编辑
参考文献 编辑
- 尼古拉·布尔巴基; Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces; ISBN 0-387-13627-4.
- Schaefer, Helmut H; Wolff, M.P. Topological vector spaces, 2nd ed. New York: Springer. 1999: 204–205. ISBN 0-387-98726-6.
- Aliprantis, Charalambos D; Burkinshaw, Owen. Locally solid Riesz spaces with applications to economics Second. Providence, R. I.: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-3408-8.