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朗道量子化

(重定向自朗道能级

朗道量子化是指均匀磁场中带电粒子的回旋轨道发生的量子化。这些带电粒子能量在一系列分立的数值中取值,形成朗道能级。朗道能级是简并的,每一能级上电子的电子数量与外加磁场的强度成正比[1]:267。由朗道量子化可以得出外磁场会导致材料中电子性质的振荡[1]。这一理论是由苏联物理学家列夫·朗道于1930年提出的[2]

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推导编辑

朗道量子化可以通过准经典的方法部分导出[1]:255-258。这里采用量子力学的方法进行推导:

考虑一个带电粒子组成的二维系统。这些粒子无内部相互作用,所带电荷为q,自旋量子数为S,并被限制在x-y平面内一个面积A = LxLy的区域内。

对这一系统施加一个沿z轴的均匀磁场 。由于自旋对于这个二维系统没有影响[3],因而在下面的推导中将忽略自旋。在CGS单位制下,这个系统的哈密顿算符为:

 

式中 正则动量算符 为磁场的磁矢势,与磁感应强度的关系为:

 

给定磁场的磁矢势具有一定的规范自由度。当 被添加一个标量场梯度时,波函数的整体相位也会随着标量场产生一定的变化,但由于哈密顿算符具有规范不变性,系统的物理性质并不受选定的规范影响。为了简便计算,这里选择朗道规范英语Landau gauge

 

式中B=|B|,x为位置算符x方向上的分量。

在这一规范下,系统的哈密顿算符为:

 

算符 与这一哈密顿算符是对易的。这是因为在选定规范时,算符 被忽略掉了,因而算符 可被它的本征值ħky替代。

如果设定回旋频率ωc = qB/mc,那么可以得出此时哈密顿算符为:

 

这与量子谐振子的哈密顿算符基本一致,但势能的最小值需要在位置表象中移动x0 = ħky/mωc

为了得出能量,我们假设对于谐振子势能的平移并不会影响到系统的能量,也就是说这一系统的能量与标准的量子谐振子一致:

 

由于能量与量子数ky无关,因而会存在一定的简并态

由于 与哈密顿算符是对易的,因而系统的波函数可以表示为y方向上动量的本征值与谐振子本征矢 的乘积,但 也需要在x方向上移动x0,即:

 

总之,电子的状态可以通过nky这两个量子数表征。

朗道能级编辑

朗道量子化所造成的效应只能在平均内能小于能级间差值,即kT ≪ ħωc时才能被观测到。简单来说就是温度较低,外磁场较强。

每个朗道能级都具有一定的简并度,因为量子数ky的取值情况为:

 ,

式中N为整数。N所允许的取值受到振子的运动中心坐标x0的影响。振子的运动必须在系统范围内,也就是说0 ≤ x0 < Lx。这给出了N的取值范围:

 

对于带电量q = Ze的粒子来说,N的上限可以表记为磁通量的比值:

 

式中 Φ0 = h/2e为磁通量的基本量子,Φ = BA是系统的磁通量,面积A = LxLy

因而对于自旋为S的粒子,每个朗道能级的简并度的最大值D为:

 

上述讨论只是在有限尺度内给出的粗略的结果,严格来说,谐振子解只对在x方向上不受限的系统有效,如果系统尺度Lx是有限的,那个方向上的束缚态条件会导致磁场中的非标准量子化情况。原则上,两个都是埃尔米特方程的解。多电子对于朗道能级的填充仍是研究热点之一[4]

一般来说,朗道能级可以在电子系统中被观察到,其中Z=1,S=1/2。随着磁场增强,越来越多的电子会占据朗道能级。最高的朗道能级的占据情况会导致多种电子性质振荡,如德哈斯-范阿尔芬效应舒布尼科夫-德哈斯效应

如果考虑到塞曼效应的话,那么每个朗道能级都会分裂为一对能级:一个为自旋向上的电子占据的能级,一个是自旋向下的电子占据的能级。此时每个自旋朗道能级的简并度就会是磁通量的比率:D = Φ/Φ0。两个能级与分裂前的能级间隔是相同的: 2μBB = ħω 。然而在多个能级被占满时,系统的费米能与基态的能量却是大致相同的,因为塞曼效应造成的影响,在这些能级相加时会被抵消掉。

讨论编辑

在上面的推导过程中,xy似乎并不对称。然而,考虑到系统的对称性,并没有物理量能表征这两个坐标的区别。在对xy进行适当的内部变换后,可以得到相同的结果。

此外,上述推导中电子在z方向上运动受限的情形尽管在实验中确实存在,如二维电子气。但这一假设并不基本。如果电子在z方向上可以自由移动,那么波函数还需要乘以一个因子exp(ikzz),能量对应地需要加上(ħ kz)2/(2m)。这一项会“填入”能级间隙,从而减小量子化的效果。但在垂直于磁场的平面x-y上的运动仍是量子化的。

对称规范中的朗道能级编辑

选定对称规范:

 

对于哈密顿算符进行去量纲化:

 

实际值可以通过引入     等常数得出。

引入算符

 
 
 
 

这些算符的对易关系为:

 .

哈密顿算符可记为:

 

朗道能级序数  的本征值。

角动量z方向上的分量为:

 

利用其与哈密顿算符可对易,即 ,我们选定 的本征值 为使  对角化的本征函数。易见,在第 个朗道能级上存在 。然而 的值可能非常大。在下面将推导系统表现出的有限简并度。

使用 可以使 减小一个单位同时使 保持不变,而 则可以使 增大一个单位,同时令 减小一个单位。类比量子谐振子,可以得到:

 
 
 

在朗道规范与对称规范下,每个朗道能级上的简并轨道分别以量子数ky 表征,每个朗道能级上单位面积的简并度是相同的。

可以证明选定下面这个波函数时,也可以得到上面得到的结果:

 

式中 

特别地,对于最低的朗道能级,即 时,波函数为任意一个解析函数高斯函数的乘积: 

规范变换的影响编辑

进行这样的规范变换:

 

运动学动量的定义为:

 

式中 为正则动量。哈密顿算符是规范不变的,因而  也会在规范变换后保持不变,但 会受到规范变换的影响。

为了考察规范变换带来的影响,设磁矢势为  时的量子态为  

由于  是规范不变的,可以得到:

 
 
 

设算符 会使 ,则:

 
 
 

综上所述:

 

参考文献编辑

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 黄昆; 韩汝琦. 《固体物理学》. 北京: 高等教育出版社. : 255–274. ISBN 978-7-04-001025-1 (中文(中国大陆)). 
  2. ^ Landau, L. D. Diamagnetismus der metalle. Zeitschrift für Physik. 1930, 64 (9-10): 629–637. doi:10.1007/BF01397213 (德语). 
  3. ^ Л·Д·朗道; Е·М·栗弗席兹; 严肃(译); 喀兴林(校). 《理论物理学教程第三卷·量子力学(非相对论理论)》. 北京: 高等教育出版社. : 416–420. ISBN 978-7-04-024306-2 (中文(中国大陆)). 
  4. ^ Mikhailov, S. A. A new approach to the ground state of quantum Hall systems. Basic principles. Physica B: Condensed Matter. 2001, 299: 6. doi:10.1016/S0921-4526(00)00769-9 (英语). 

参见编辑