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上面两个图中,标量场是黑白的,黑色表示大的数值,而其相应的梯度用藍色箭头表示。

向量微积分中,标量场梯度是一个向量场。标量场中某一点的梯度指向在這點标量场增长最快的方向(當然要比較的話必須固定方向的長度),梯度的絕對值是長度為1的方向中函數最大的增加率,也就是說 ,其中 代表方向導數。以另一觀點來看,由多變數的泰勒展開式可知,从欧几里得空间RnR函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上,梯度是雅可比矩阵的一个特殊情况。

  • 梯度一词有时用于斜度,也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的內積来得到斜度。梯度的数值有时也被称为梯度。

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梯度的解释编辑

假設有一个房间,房间内所有点的温度由一个标量场 给出的,即点 的温度是 。假设温度不随时间改变。然后,在房间的每一点,该点的梯度将显示变热最快的方向。梯度的大小将表示在该方向上变热的速度。

考虑一座高度在 点是 的山。 这一点的梯度是在该点坡度(或者说斜度)最陡的方向。梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。

梯度也可以告诉我们一个数量在不是最快变化方向的其他方向的变化速度。再次考虑山坡的例子。可以有条直接上山的路其坡度是最大的,则其坡度是梯度的大小。也可以有一条和上坡方向成一个角度的路,例如投影与水平面上的夹角为60°。则,若最陡的坡度是40%,这条路的坡度小一点,是20%,也就是40%乘以60°的余弦。

这个现象可以如下数学的表示。山的高度函数 的梯度点积一个单位向量给出了表面在该向量的方向上的斜率。这称为方向導數

形式化定义编辑

一个标量函数 的梯度记为:

  

其中 nabla)表示向量微分算子

 在三维直角坐标中表示为

 

参看偏导数向量

虽然使用坐标表达,但结果是在正交变换下不变,从几何的观点来看,这是应该的。

范例编辑

函数 的梯度为:

 

实标量函数的梯度[來源請求]编辑

相对于n×1向量x的梯度算子记作 [來源請求],定义为

 [來源請求]

对向量的梯度编辑

以n×1实向量x为变元的实标量函数f(x)相对于x的梯度为一n×1列向量x,定义为

 

m维行向量函数 相对于n维实向量x的梯度为一n×m矩阵,定义为

 

对矩阵的梯度编辑

实标量函数 相对于m×n实矩阵A的梯度为一m×n矩阵,简称梯度矩阵,定义为

 

法则编辑

以下法则适用于实标量函数对向量的梯度以及对矩阵的梯度。

  • 线性法则:若  分别是矩阵A的实标量函数,c1和c2为实常数,则
 
  • 乘积法则:若   分别是矩阵A的实标量函数,则
 
 
  • 商法则:若 ,则
 
  • 链式法则:若A为m×n矩阵,且  分别是以矩阵A和标量y为变元的实标量函数,则
 

流形上的梯度编辑

一个黎曼流形 上的对于任意可微函数 的梯度 是一个向量场,使得对于每个向量  

 

其中 代表 上的内积(度量)而   在點 ,方向為 方向導數。换句话说,如果  附近的局部座標,在此座標下有 ,則 将成为:

 

函数的梯度和外微分相关,因为 ,实际上內積容许我们可以用一种标准的方式将1-形式 和向量场 建立联系。由 的定義, ,这样 的梯度可以"等同"于0-形式的外微分 ,這裡"等同"意味著:兩集合  之間有1對1的滿射

由定義可算流形 的局部座標表達式為:

 

請注意這是流形上對黎曼度量  的公式,跟  裡直角座標的公式不同。常常我們寫時會省略求和 符號,不過為了避免混淆,在這裡的公式還是加上去了。

柱坐标下的梯度()算符编辑

 

球坐标下的梯度()算符编辑

 

其中 为极角, 方位角。

参考编辑

书籍编辑

  • (中文)张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社. 2004年9月. ISBN 9787302092711. 

参看编辑