满射

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满射蓋射(英語:surjection、onto),或稱满射函数映成函數,一个函数为满射,則对于任意的陪域 中的元素 ,在函数的定义域 中存在一點 使得 。换句话说,是满射時,它的值域与陪域相等,或者,等价地,如果每一个陪域中的元素 原像 不等於空集合。

例子和反例编辑

函数 ,定义为 ,不是一个满射,因为,(舉例)不存在一个实数满足 

但是,如果把 的陪域限制到只有非负实数,则函数 为满射。这是因为,给定一个任意的非负实数 ,我们能对 求解,得到 


 
雙射(單射與滿射)

 
單射但非滿射

 
滿射但非单射

 
非滿射非單射

性质编辑

根据定义,函数为双射当且仅当它既是满射也是单射

若將定義在 上的函數 ,視為其圖像,即 集合論經常如此行),則滿射與否,不僅是 的性質,而是映射(需要聲明陪域)的性質。[1]單射與否可以單憑圖像判斷,但滿射則不同,不能單憑圖像判斷,因為要知道陪域。

右可逆函數编辑

函數 稱為函數 右逆,意思是  的所有元素 成立。簡而言之, 的效果,可以 復原。用文字表示,  的右逆,意思是先做 後做 複合 ,等於 上的恆等函數,即不造成任何變化。此處不要求  的真正反函數,因為另一次序的複合 ,不必是 的恆等函數。換言之, 可以「復原」或「抵消」 ,但不必被 復原或抵消。

若函數有右逆,則必為滿射。但反之,「每個滿射皆有右逆」此一命題,等價於選擇公理,故在某些集合論(例如假設確定性公理英语Axiom of determinacy)中,不必為真。

 為滿射,  子集,則 ,即從預象 ,可以找回 

右可消去编辑

函數 是滿射,當且僅當其為右可消去英语right-cancellative[2]給定任何兩個有公共定義域和陪域的函數 ,若 ,則有 。此性質的敍述用到函數和複合,可以對應推廣成範疇態射和複合。右可消的態射稱為滿態射英语epimorphism滿同態。滿射與滿態射的關係在於,滿射就是集合範疇中的滿態射。

範疇論中,有右逆的態射必為滿態射,但反之則不然。態射 的右逆 也稱為 截面英语section (category theory)。而有右逆的態射稱為分裂滿態射英语split epimorphism,是一類特殊的滿態射。

作為二元關係编辑

 為定義域, 為值域的函數,可以視為兩集合之間的左全英语left-total relation右唯一英语right-unique relation的二元關係,因為可將函數與圖像等同。此觀點下,由  的滿射,是右唯一而既左全又右全的關係。

定義域不小於陪域编辑

滿射的定義域,必有大於或等於其陪域的基數:若 為滿射,則 的元素個數必定至少等於 的元素個數(在基數意義下)。但此結論的證明,需要假定選擇公理,以證明 有右逆,即存在函數 使得  的任意元素 成立。滿足此性質的 必為單射,故由基數大小比較的定義,有 

特別地,若  皆是有限,且兩者的元素個數相同,則 是滿射當且僅當 單射

給定兩個集合  ,以 表示「或者 ,或者存在由  的滿射」。利用選擇公理,可以證明,  兩者一起,足以推出 。此為康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理的變式。

複合與分解编辑

兩個滿射的複合仍是滿射:若  皆為滿射,且 的陪域是 的定義域,則 也是滿射。反之,若 為滿,則 是滿射,但 不必為滿射。與右可消去一節一樣,從集合範疇的滿射,可以推廣到一般範疇滿態射

任何函數都可以分解成一個滿射與一個單射的複合:對任意 ,都存在滿射 和單射 使得 ,取法如下:定義 為所有原像 的集合,其中 歷遍 值域。該些原像兩兩互斥,且劃分 。於是, 將每個 映到包含 的原像(此為 的元素),然後 再將 的每個元素(形如 )映到相應的 。則 為滿射(因為 中的元素,是原像 ,且非空,故有某個 ,所以由 的定義有 ),而根據 的定義,其為單射。

導出滿射和導出雙射编辑

任何函數,若將其陪域限制成值域,則可以視為滿射,稱為其導出滿射。任何滿射,若將定義域換成商集,即將函數值相同的參數,摺疊成同一個「等價類」,則得到一個雙射,其由等價類組成的集合,射去原函數的陪域。以符號表示,每個滿射 可以分解成先做一個商映射,再做一個雙射。考慮以下等價關係 當且僅當 。以 表示此等價關係下, 的等價類的集合。換言之,  所有原像的集合。以 表示將 映到等價類 商映射,又設 ,定義為 ,則 。由定義知, 是滿射,而 是雙射。

相关条目编辑

參考文獻编辑

  1. ^ T. M. Apostol. Mathematical Analysis. Addison-Wesley. 1981: 35. 
  2. ^ Goldblatt, Robert. Topoi, the Categorial Analysis of Logic [拓撲斯,邏輯的範疇論分析] Revised. Dover Publications. 2006 [1984] [2009-11-25]. ISBN 978-0-486-45026-1 (英语).