梅滕斯猜想

梅滕斯猜想数论中的一个猜想,是有關數論中梅滕斯函数上下界的猜想,由汤姆斯·斯蒂尔吉斯在一封于1885年写给夏尔·埃尔米特弗朗茨·梅滕斯(Franz Mertens)的信中提出。这一猜想如果成立的话可以推出黎曼猜想,不过已被安德鲁·奥德里兹科(Andrew Odlyzko)与赫尔曼·特里尔(Herman te Riele)于1985年证否。

图示为梅滕斯函数的前10000项与默滕斯猜想中的界限。梅滕斯在計算梅滕斯函數的前一萬個值之後,猜想的絕對值恆小於,此猜想被安德鲁·奥德里兹科(Andrew Odlyzko)与赫尔曼·特里尔(Herman te Riele)于1985年证否

定义编辑

数论中,有梅滕斯函数

 

其中, 表示默比乌斯函数。则梅滕斯猜想是指,对所有 ,有

 

猜想的證否编辑

湯姆斯·斯蒂爾吉斯在1885年聲稱已證明比梅滕斯猜想要弱的結果,也就是 有界,但其結果沒有發表[1](若用 的方式表示,梅滕斯猜想是指 

安德鲁·奥德里兹科(Andrew Odlyzko)与赫尔曼·特里尔(Herman te Riele)在1985年證否了梅滕斯猜想,用的是LLL格缩减算法英语Lenstra–Lenstra–Lovász lattice basis reduction algorithm[2][3]

  and  

之後也證實了第一個反例小於  [4],大於1016[5],後來的上限已降到 [6]或近似 ,但還沒找到確切的反例數值。

參考資料编辑

  1. ^ Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (编). The Riemann hypothesis. A resource for the aficionado and virtuoso alike. CMS Books in Mathematics. New York, NY: 施普林格科学+商业媒体. 2007: 69. ISBN 978-0-387-72125-5. Zbl 1132.11047. 
  2. ^ Odlyzko & te Riele (1985)
  3. ^ Sandor et al (2006) pp.188–189
  4. ^ Pintz (1987)
  5. ^ Hurst, Greg. Computations of the Mertens function and improved bounds on the Mertens conjecture. 2016. arXiv:1610.08551  [math.NT]. 
  6. ^ Kotnik and Te Riele (2006)

参考文献编辑