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機率論統計學中,一個機率分布標準矩是經過標準化後的中心矩(通常是較高階的中心矩)。標準化通常是將其除以標準差的過程,這樣做可以使得標準矩對縮放和離散程度皆能保持一致, 在比較不同機率分布的形狀時更為方便。[1]

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定義编辑

X為一隨機變量,其機率密度函數f、平均值為   (一階原點矩),則第k階標準矩 [2] 其中 是第k階中心矩

 

 標準差的k次方:

 

以通式表示:

 

性質编辑

  • 中心矩為k次齐次函数 
  • 標準矩具有縮放不變性
  • 由於上述標準矩的定義中將矩的因次消除了,因此標準矩為无因次量

常用的標準矩编辑

以下列出前4個標準矩:

階數 k 定義 說明
1   一階標準矩恆為0,

因為一階中心矩恆為0。

2   二階標準矩恆為1,

因為二階中心矩即為變異數 

3   三階標準矩用於定義偏度
4   四階標準矩用於定義峰度

參見编辑

參考資料编辑

  1. ^ Ramsey, James Bernard; Newton, H. Joseph; Harvill, Jane L. CHAPTER 4 MOMENTS AND THE SHAPE OF HISTOGRAMS. The Elements of Statistics: With Applications to Economics and the Social Sciences. Duxbury/Thomson Learning. 2002-01-01: 96. ISBN 9780534371111 (英语). 
  2. ^ W., Weisstein, Eric. Standardized Moment. mathworld.wolfram.com. [2016-03-30] (英语).