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數值分析上,梯形法則辛卜生法則均是數值積分的方法。它們都是計算定積分的。

這兩種方法都屬於牛頓-寇次公式。它們以函數於等距點的值,取得一個次的多項式來近似原來的函數,再行求積。

梯形法則编辑

 
原函數(藍色)近似為紅色的線性函數
 
多重梯形法則

梯形法則是:

 

這等同將被積函數近似為直線函數,被積的部分近似為梯形

要求得較準確的數值,可以將要求積的區間分成多個小區間,再個別估計,即:

 

可改寫成

 

其中

  

辛卜生法則编辑

辛卜生法則(Simpson's rule,又稱森遜法則辛普森法則)是:

 

同樣地,辛卜生法則也有多重的版本:

 
 

或寫成

 

牛頓-寇次公式编辑

牛頓-寇次公式(Newton-Cotes rule / Newton-Cotes formula)以Roger Cotes和艾薩克·牛頓命名。其內容是:

 

其中對  是常數(由 的值決定), 

梯形法則和辛卜生法則便是 的情況。

亦有不採用在邊界點來估計的版本,即取  

原理编辑

  • 假設已知 的值。
  •  點進行插值,求得對應 拉格朗日多項式
  • 對該 次的多項式求積。

該積分便可以作為 的近似,而由於該拉格朗日多項式的係數都是常數(由 決定其值),所以積函數的係數(即 )都是常數。

缺點编辑

對於次數較高的多項式而有很大誤差(龍格現象),不如高斯積分法

例子编辑

下表中   

精度 名稱 公式 誤差
1 梯形法則    
2 辛卜生法則    
3 辛卜生3/8法則
辛卜生第二法則
   
4 保爾法則
(Boole's rule
/ Bode's rule)
   
不用界點的
0 中點法    
1    
2    
3    

參考编辑

  • M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)
  • George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
  • William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 4.1.)
  • Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)

外部連結编辑