在愛因斯坦 發表的 1905 年論文裏，首段描述的就是移動中的磁鐵與導體問題[2]
如大眾所知，馬克士威的電動力學——若按當前的普通看法——當應用於移動物體，會導致不對稱性，而這不對稱性並非可見現象的內在屬性。舉例而言，磁鐵與導體兩者間相互的電動力學作用，其可觀測到的現象只和導體與磁鐵的相對運動有關，然而，慣常的觀點卻將這兩種狀況劃下鮮明的界線，這些物體中不是一個在移動就是另一個在移動。若是磁鐵在移動而導體呈靜止狀態，則磁鐵週遭會生成帶有特定能量的電場，在導體所坐落的位置造成電流。但若是磁鐵呈靜止狀態而導體在移動，則磁鐵週遭不會有電場生成，然而在導體中，會發現電動勢，它並不帶有對應的能量，但卻可給出——假設在所討論的這兩種情況中，相對運動是一樣的——前例中電場力所造成的一模一樣的電流。 — 論動體的電動力學 愛因斯坦 , 1905年
關於不同參考系所觀測到的現象，有一個絕對不可妥協的要求，那就是一致性 。這是很重要的論點，因為關於趨動電荷、造成電流的作用力，牛頓力學 預測一種變換（伽利略變換 ），而電動力學 預測另外一種不同的變換（勞侖茲變換 ）。從許多實驗的結果，像光行差 、邁克生-莫立實驗 等等，建立了勞侖茲變換為正確無誤。狹義相對論 的成功發展將這與牛頓力學的不符之處徹底解決。關於作用力的變換，從一個參考系到另一個參考系，狹義相對論將這變換加以修改，促使與勞侖茲不變性一致化。稍後，會詳細解釋這些變換。
再進一步，假若能夠將這些描述合併在一起，獨立於參考系的考量之外，不必被各種各樣的參考系牽扯，那會是多麼美好之舉。達到這目標的細微線索是，在一個參考系的磁場，在另一個參考系會變成電場。類似地，在一個參考系的電場的螺線 部分（不是由電荷產生的部分），在另一個參考系會變成磁場；也就是說，螺線電場與磁場是一塊銅幣的兩面[3] 語意 方面的問題。
為了避免這語意陷阱，可以合併描述為電磁張量 。電場與磁場變成電磁張量的分量，在所有參考系裏，形式相同。
电子束在磁场中做圆周运动，气体原子被电子激发而发光。
從做實驗可以觀測到帶電粒子的運動軌道，從而推斷出经典電磁場的存在，经典電磁場理論能夠解釋帶電粒子的運動行為。
物理學 強烈地要求，所有觀測必需對於粒子的運動軌道達成共論。例如，假若某觀測發現一個粒子碰撞到標靶靶心，則所有觀測必需達到同樣的結論。這要求對於電磁場的屬性與從一個參考系變換到另一個參考系的物理行為給予約束。這要求也對於電磁場怎樣影響加速度 給予約束，從而影響帶電粒子的運動軌道。
愛因斯坦在他的1905年闡述狹義相對論的論文裏提到的例子，即關於導體移動於磁鐵產生的磁場的問題。在磁鐵的參考系，導體會感受到磁場力。在導體的參考系，移動相對於磁鐵，導體會感受到電場力。這磁鐵參考系的磁場與導體參考系的電場，必需對於導體的運動造成一致性的結果。在1905年，愛因斯坦表明，馬克士威方程組所代表的場方程組正確無誤，牛頓運動定律需要修改才能給出一致性的粒子軌道[4]
電磁場的伽利略變換 编辑
假設磁鐵參考系與導體參考系是以伽利略變換相關聯，則這兩個參考系所觀測到的電磁場、作用力可以直截了當的計算出來，解釋兩個參考系所觀測到的感應電流相同。這也會順便給出一般方程式，能夠以一個參考系的電磁場表達另一個參考系的電磁場[5] [6]
實際而言，兩個參考系不是以伽利略變換相關聯，而是以勞侖茲變換相關聯。然而，在相對速度超小於光速之時，伽利略變換是非常優良的近似。
單撇號的參考系（紅色）對於沒有單撇號的參考系（藍色）的相對速度為
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
（灰色）。
在以下論述裏，沒有單撇號的符號對應於磁鐵的靜止參考系，而有單撇號的符號對應於導體的靜止參考系。
設定
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
t
{\displaystyle t}
r
′
=
r
−
v
t
{\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} -\mathbf {v} t}
t
′
=
t
{\displaystyle t'=t}
在伽利略變換下，
∇
{\displaystyle \nabla }
∂
∂
t
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}
∇
′
=
∇
{\displaystyle \nabla '=\nabla }
∂
∂
t
′
=
∂
∂
t
+
v
⋅
∇
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t'}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla }
磁鐵參考系 编辑 在磁鐵的靜止參考系，參數為場位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
t
{\displaystyle t}
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}
E
(
r
,
t
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=0}
通常，處於電場
E
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}
帶電粒子
q
{\displaystyle q}
勞侖茲力
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
F
=
q
(
E
+
v
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
由於電場為零，帶電粒子所感受到的作用力為
F
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
導體參考系 编辑 在導體的靜止參考系，磁場
B
′
{\displaystyle \mathbf {B} '}
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
[7]
B
′
(
r
′
,
t
′
)
=
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} '(\mathbf {r} ',t')=\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}
由於磁場
B
′
{\displaystyle \mathbf {B} '}
t
′
{\displaystyle t'}
馬克士威-法拉第方程式 ，會有電場生成於導體參考系：
∇
′
×
E
′
=
−
∂
B
′
∂
t
′
=
−
(
∂
∂
t
+
v
⋅
∇
)
B
=
−
(
v
⋅
∇
)
B
=
−
(
v
⋅
∇
′
)
B
{\displaystyle \nabla '\times \mathbf {E} '=-\ {\frac {\partial \mathbf {B} '}{\partial t'}}=-\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} =-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {B} =-(\mathbf {v} \cdot \nabla ')\mathbf {B} }
應用向量恆等式 與高斯磁定律 ，注意到
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
∇
′
×
E
′
=
−
(
v
⋅
∇
′
)
B
=
−
∇
′
×
(
B
×
v
)
−
v
(
∇
′
⋅
B
)
=
−
∇
′
×
(
B
×
v
)
{\displaystyle \nabla '\times \mathbf {E'} =-(\mathbf {v} \cdot \nabla ')\mathbf {B} =-\nabla '\times (\mathbf {B} \times \mathbf {v} )-\mathbf {v} (\nabla '\cdot \mathbf {B} )=-\nabla '\times (\mathbf {B} \times \mathbf {v} )}
對於這方程式，存在有解答
E
′
=
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {E} '=\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
在導體參考系，導體內部的電荷
q
{\displaystyle q}
F
′
=
q
E
′
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
注意到
F
=
F
′
{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} '}
勞侖茲力不變性 编辑 在伽利略變換下的電場與磁場也可以從勞侖茲力 不變性猜出。由於加速度 的伽利略變換為
a
=
a
′
{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '}
作用力的伽利略變換為
F
=
F
′
{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} '}
思考移動於電磁場的一個帶電粒子，其所感受到的勞侖茲力為：
q
(
E
+
w
×
B
)
=
q
(
E
′
+
w
′
×
B
′
)
{\displaystyle q(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )=q(\mathbf {E} '+\mathbf {w} '\times \mathbf {B} ')}
其中，
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
w
′
{\displaystyle \mathbf {w} '}
q
{\displaystyle q}
速度的伽利略變換為
w
=
w
′
+
v
{\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {w} '+\mathbf {v} }
將這變換公式代入，可以得到
E
+
v
×
B
′
=
E
′
+
w
×
(
B
′
−
B
)
{\displaystyle \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} '=\mathbf {E} '+\mathbf {w} \times (\mathbf {B} '-\mathbf {B} )}
從參考系裏觀測到的電磁場，不應該與粒子速度有關，唯一可能是設定
B
′
=
B
{\displaystyle \mathbf {B} '=\mathbf {B} }
E
=
E
′
−
v
×
B
′
{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} '-\mathbf {v} \times \mathbf {B} '}
對於移動中的磁鐵與導體問題，
E
=
0
{\displaystyle \mathbf {E} =0}
w
′
=
0
{\displaystyle \mathbf {w} '=0}
F
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
F
′
=
q
E
′
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
電磁場的伽利略變換方程式 编辑 將前面結果加以延伸，假設在磁鐵參考系觀測到的電場不等於零，則仍舊可倚賴馬克士威-法拉第方程式 做出解釋，在導體參考系，這含時電場會貢獻出磁場。通常而言，最終結果是
E
′
=
E
+
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {E} '=\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
B
′
=
B
−
1
c
2
v
×
E
{\displaystyle \mathbf {B} '=\mathbf {B} -{\frac {1}{{c}^{2}}}\ \mathbf {v} \times \mathbf {E} }
其中，
c
{\displaystyle c}
自由空間 的光速 。
將這些變換方程式帶入馬克士威方程組 ，可以發覺，假若在一個參考系裏，馬克士威方程組完全成立，則在另外一個參考系裏，馬克士威方程組幾乎完全成立，只差幾個不正確的項目。這些項目必需靠勞侖茲變換 來修正。所以，這些變換方程式有瑕疵，稍後會有更詳細解釋。
電磁場的勞侖茲變換 编辑
經典電磁理論的協變表述 编辑
應用協變表述，閔可夫斯基度規 的形式被規定為
d
i
a
g
(
1
,
−
1
,
−
1
,
−
1
)
{\displaystyle diag(1,-1,-1,-1)}
約翰·傑克森 （John D. Jackson ）的著作《經典電動力學》中所採用的形式；並且使用了經典的張量代数 以及愛因斯坦求和約定 。
先列出解析移動中的磁鐵與導體問題所需的變量與方程式。定義帶電粒子的四維速度
u
ζ
{\displaystyle u_{\zeta }}
u
ζ
=
d
e
f
(
u
0
,
u
1
,
u
2
,
u
3
)
=
γ
(
c
,
−
v
x
,
−
v
y
,
−
v
z
)
{\displaystyle u_{\zeta }\ {\stackrel {def}{=}}\ (u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3})=\gamma (c,\,-v_{x},\,-v_{y},\,-v_{z})}
其中，
c
{\displaystyle c}
v
=
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},\,v_{y},\,v_{z})}
定義電磁場張量
F
ξ
ζ
{\displaystyle F^{\xi \zeta }}
F
ξ
ζ
=
d
e
f
[
0
−
E
x
/
c
−
E
y
/
c
−
E
z
/
c
E
x
/
c
0
−
B
z
B
y
E
y
/
c
B
z
0
−
B
x
E
z
/
c
−
B
y
B
x
0
]
{\displaystyle F^{\xi \zeta }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}
； 其中，
E
=
(
E
x
,
E
y
,
E
z
)
{\displaystyle \mathbf {E} =(E_{x},\,E_{y},\,E_{z})}
B
=
(
B
x
,
B
y
,
B
z
)
{\displaystyle \mathbf {B} =(B_{x},\,B_{y},\,B_{z})}
結合牛頓運動定律 與勞侖茲力定律 在一起，以電磁場張量寫為協變形式 (covariant form )：
f
ξ
=
d
e
f
d
p
ξ
d
τ
=
q
u
ζ
F
ξ
ζ
{\displaystyle f^{\xi }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {dp^{\xi }}{d\tau }}=qu_{\zeta }F^{\xi \zeta }}
其中，
f
ξ
{\displaystyle f^{\xi }}
四維力 （four-force ），
p
ξ
{\displaystyle p^{\xi }}
四維動量 ，
τ
{\displaystyle \tau }
固有時 。
應用勞侖茲變換 ，電磁場張量可以從一個參考系變換到另一個參考系：
F
′
μ
ν
=
Λ
μ
ξ
Λ
ν
ζ
F
ξ
ζ
{\displaystyle F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\xi }{\Lambda ^{\nu }}_{\zeta }F^{\xi \zeta }}
其中，
Λ
μ
ξ
{\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\xi }}
Λ
ν
ζ
{\displaystyle {\Lambda ^{\nu }}_{\zeta }}
勞侖茲變換矩陣 。
現在，可以開始解析移動中的磁鐵與導體問題。與這問題相關的勞侖茲變換矩陣
Λ
ν
μ
{\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}
Λ
ν
μ
=
(
γ
−
γ
β
0
0
−
γ
β
γ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)}
； 其中，
β
=
v
c
{\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}
貝他因子 。
在磁鐵參考系，觀測到的電磁場張量
F
ξ
ζ
{\displaystyle F^{\xi \zeta }}
F
ξ
ζ
=
[
0
0
0
0
0
0
−
B
0
0
B
0
0
0
0
0
0
]
{\displaystyle F^{\xi \zeta }={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-B&0\\0&B&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}
。 帶電粒子（也可以說是導體）的四維速度
u
ζ
{\displaystyle u_{\zeta }}
u
ζ
=
γ
(
c
,
−
v
,
0
,
0
)
{\displaystyle u_{\zeta }=\gamma (c,\,-v,\,0,\,0)}
四維力
f
ξ
{\displaystyle f^{\xi }}
f
ξ
=
q
u
ζ
F
ξ
ζ
=
γ
(
0
,
0
,
−
v
B
,
0
)
{\displaystyle f^{\xi }=qu_{\zeta }F^{\xi \zeta }=\gamma (0,\,0,\,-vB,\,0)}
在導體參考系，觀測到的電磁場張量
F
′
μ
ν
{\displaystyle F'^{\mu \nu }}
F
′
02
=
Λ
0
ξ
Λ
2
ζ
F
ξ
ζ
=
Λ
0
1
Λ
2
2
F
12
+
Λ
0
2
Λ
2
1
F
21
=
γ
β
B
{\displaystyle F'^{02}={\Lambda ^{0}}_{\xi }{\Lambda ^{2}}_{\zeta }F^{\xi \zeta }={\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}+{\Lambda ^{0}}_{2}{\Lambda ^{2}}_{1}F^{21}=\gamma \beta B}
F
′
20
=
Λ
2
ξ
Λ
0
ζ
F
ξ
ζ
=
Λ
2
1
Λ
0
2
F
12
+
Λ
2
2
Λ
0
1
F
21
=
−
γ
β
B
{\displaystyle F'^{20}={\Lambda ^{2}}_{\xi }{\Lambda ^{0}}_{\zeta }F^{\xi \zeta }={\Lambda ^{2}}_{1}{\Lambda ^{0}}_{2}F^{12}+{\Lambda ^{2}}_{2}{\Lambda ^{0}}_{1}F^{21}=-\gamma \beta B}
其他項目都等零。所以電磁場張量
F
′
μ
ν
{\displaystyle F'^{\mu \nu }}
F
′
μ
ν
=
[
0
0
γ
β
B
0
0
0
0
0
−
γ
β
B
0
0
0
0
0
0
0
]
{\displaystyle F'^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&0&\gamma \beta B&0\\0&0&0&0\\-\gamma \beta B&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}
， 在導體參考系，電場為
E
′
=
−
γ
v
B
{\displaystyle E'=-\gamma vB}
帶電粒子（也可以說是導體）的四維速度
u
ζ
′
{\displaystyle u'_{\zeta }}
u
ζ
′
=
γ
(
c
,
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle u'_{\zeta }=\gamma (c,\,0,\,0,\,0)}
四維力
f
′
ξ
{\displaystyle f'^{\xi }}
f
′
ξ
=
q
u
ζ
′
F
′
ξ
ζ
=
γ
(
0
,
0
,
−
v
B
,
0
)
{\displaystyle f'^{\xi }=qu'_{\zeta }F'^{\xi \zeta }=\gamma (0,\,0,\,-vB,\,0)}
這滿足兩個參考系之間對於四維力的勞侖茲變換：
f
′
μ
=
Λ
μ
ξ
f
ξ
{\displaystyle f'^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\xi }f^{\xi }}
^ 在所有慣性參考系 裏，物理定律都完全相同。
^ 2.0 2.1 愛因斯坦, 阿爾伯特. ON THE ELECTRODYNAMICS OF MOVING BODIES . June 30, 1905 [2011-07-21 ] . （原始内容存档 于2011-04-25）. ^ 電場可以分為兩個部分：螺線場 （solenoidal field ）（或不可壓縮場 ）與保守場 （或無旋場 ）。通過改換參考系，螺線場可以變換為磁場。保守場是由電荷產生的，會永遠變換為電場，雖然數值大小會改變。
^ Roger Penrose (Martin Gardner: foreword). The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics. Oxford University Press. 1999: 248. ISBN 0192861980 ^ Preti, Giovanni; Fernando de Felice, Luca Masiero. On the Galilean non-invariance of classical electromagnetism . EUROPEAN JOURNAL OF PHYSICS (IOP Publishing). 2009, 30 : 381–391. ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 208–211, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 ^ 這表達式可以視為一種假定，基於長久做磁鐵實驗的經驗結果而獲得的假定，即磁鐵的磁場與磁鐵移動速度無關。若速度為相對論性速度，或者磁鐵參考系的電場不等於零，則這表達式不正確。
^ Tai L. Chow. Electromagnetic theory. Sudbury MA: Jones and Bartlett. 2006: Chapter 10.21; p. 402–403 ff. ISBN 0-7637-3827-1 ^ 9.0 9.1
Tai L. Chow. Electromagnetic theory. Sudbury MA: Jones and Bartlett. 2006: Chapter 10.5; p. 368 ff. ISBN 0-7637-3827-1
![\mathbf{F} = q \left[\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd5a8824d50879ce71b83ac5c055078d07c218ca)
![\mathbf{F}'= q \left[\mathbf{E}' + \mathbf{v}' \times \mathbf{B}' \right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4906f68541783c9a3af2d4dd150425743d8e71a8)
