等势

在数学领域中，两个集合是等势的（英語：equinumerous）意為它们之间存在一个双射。這種性質经常叫做等势性(equinumerosity)。英文中也會用术语 equipotent 或 equipollent 來表示等勢。

定義编辑

定義 — $A$ 和 $B$ 是二集合，若 $f$ 滿足

$(\forall a\in A)(\exists !b)\{(b\in B)\wedge [(a,\,b)\in f]\}$ （ $f$ 是 $A$ 和 $B$ 間的函数）
$(\forall b\in B)(\exists a\in A)[(a,\,b)\in f]$ （每個 $b\in B$ 都可以用 $f$ 的規則對到某 $a\in A$ ）
$(\forall a_{1}\in A)(\forall a_{2}\in A)(\forall b\in B)\{[(a_{1},\,b),\,(a_{2},\,b)\in f]\Rightarrow (a_{1}=a_{2})\}$ （ $a_{1},\,a_{2}\in A$ 都對到 $b\in B$ 則兩者相等）

此時用以下符號簡記：

A\,{\overset {f}{\cong }}\,B

更進一步的，可以定義：

A\cong B:=(\exists f)\left[A\,{\overset {f}{\cong }}\,B\right]

並可簡稱為 $A$ 和 $B$ 是等势的。

$A\,{\overset {f}{\cong }}\,B$ 直觀上來說，就是任意 $b\in B$ 都可以透過函数 $f$ 的規則，被唯一的一個 $a\in A$ 對應。而所謂的等勢，就是 $A$ 和 $B$ 間存在這樣的一對一且不遺漏的對應關係。

设 $E=\left\{2n|n\in \mathbb {N} \right\}$ 是全体偶数的集合，那么，它与自然数集 $\mathbb {N}$ 是等势的；有理数 $\mathbb {Q}$ 与自然数 $\mathbb {N}$ 是等势的（所有有理数与自然数是“一样多”的）；然而，无理数 $\mathbb {R} -\mathbb {Q}$ 与自然数 $\mathbb {N}$ 或有理数 $\mathbb {Q}$ 都不等势（无理数比有理数“个数多”）。势的