等勢

在數學領域中，兩個集合是等勢的（英語：equinumerous）意為它們之間存在一個雙射。這種性質經常叫做等勢性(equinumerosity)。英文中也會用術語 equipotent 或 equipollent 來表示等勢。

定義編輯

定義 — $A$ 和 $B$ 是二集合，若 $f$ 滿足

$(\forall a\in A)(\exists !b)\{(b\in B)\wedge [(a,\,b)\in f]\}$ （ $f$ 是 $A$ 和 $B$ 間的函數）
$(\forall b\in B)(\exists a\in A)[(a,\,b)\in f]$ （每個 $b\in B$ 都可以用 $f$ 的規則對到某 $a\in A$ ）
$(\forall a_{1}\in A)(\forall a_{2}\in A)(\forall b\in B)\{[(a_{1},\,b),\,(a_{2},\,b)\in f]\Rightarrow (a_{1}=a_{2})\}$ （ $a_{1},\,a_{2}\in A$ 都對到 $b\in B$ 則兩者相等）

此時用以下符號簡記：

A\,{\overset {f}{\cong }}\,B

更進一步的，可以定義：

A\cong B:=(\exists f)\left[A\,{\overset {f}{\cong }}\,B\right]

並可簡稱為 $A$ 和 $B$ 是等勢的。

$A\,{\overset {f}{\cong }}\,B$ 直觀上來說，就是任意 $b\in B$ 都可以透過函數 $f$ 的規則，被唯一的一個 $a\in A$ 對應。而所謂的等勢，就是 $A$ 和 $B$ 間存在這樣的一對一且不遺漏的對應關係。

設 $E=\left\{2n|n\in \mathbb {N} \right\}$ 是全體偶數的集合，那麼，它與自然數集 $\mathbb {N}$ 是等勢的；有理數 $\mathbb {Q}$ 與自然數 $\mathbb {N}$ 是等勢的（所有有理數與自然數是「一樣多」的）；然而，無理數 $\mathbb {R} -\mathbb {Q}$ 與自然數 $\mathbb {N}$ 或有理數 $\mathbb {Q}$ 都不等勢（無理數比有理數「個數多」）。勢的