等势

在数学领域中，两个集合是等势的（英语：equinumerous）意为它们之间存在一个双射。这种性质经常叫做等势性(equinumerosity)。英文中也会用术语 equipotent 或 equipollent 来表示等势。

定义编辑

定义 — $A$ 和 $B$ 是二集合，若 $f$ 满足

$(\forall a\in A)(\exists !b)\{(b\in B)\wedge [(a,\,b)\in f]\}$ （ $f$ 是 $A$ 和 $B$ 间的函数）
$(\forall b\in B)(\exists a\in A)[(a,\,b)\in f]$ （每个 $b\in B$ 都可以用 $f$ 的规则对到某 $a\in A$ ）
$(\forall a_{1}\in A)(\forall a_{2}\in A)(\forall b\in B)\{[(a_{1},\,b),\,(a_{2},\,b)\in f]\Rightarrow (a_{1}=a_{2})\}$ （ $a_{1},\,a_{2}\in A$ 都对到 $b\in B$ 则两者相等）

此时用以下符号简记：

A\,{\overset {f}{\cong }}\,B

更进一步的，可以定义：

A\cong B:=(\exists f)\left[A\,{\overset {f}{\cong }}\,B\right]

并可简称为 $A$ 和 $B$ 是等势的。

$A\,{\overset {f}{\cong }}\,B$ 直观上来说，就是任意 $b\in B$ 都可以透过函数 $f$ 的规则，被唯一的一个 $a\in A$ 对应。而所谓的等势，就是 $A$ 和 $B$ 间存在这样的一对一且不遗漏的对应关系。

设 $E=\left\{2n|n\in \mathbb {N} \right\}$ 是全体偶数的集合，那么，它与自然数集 $\mathbb {N}$ 是等势的；有理数 $\mathbb {Q}$ 与自然数 $\mathbb {N}$ 是等势的（所有有理数与自然数是“一样多”的）；然而，无理数 $\mathbb {R} -\mathbb {Q}$ 与自然数 $\mathbb {N}$ 或有理数 $\mathbb {Q}$ 都不等势（无理数比有理数“个数多”）。势的