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幾何學中,維面Facet)又稱為超面hyperface[1])是指幾何形狀的組成元素中,比該幾何形狀所在維度少一個維度的元素[5]。也是任何多胞形的邊界。而若在維面前加一個整數則代表幾何形狀的組成元素中,維度為該數的元素,例如在立方體中2維面(2-Face)是指立方體的正方形面。一般來說,維面Facet)不應與面(Face)混淆[6][7]。一般的多胞形皆是以維面的數量命名,例如六邊形的維面是邊,其共有六條邊因此稱六邊形、八面體的維面是面,其共有八個面因此稱八面體。

維面编辑

幾何學中,維面多面體多胞形或相關幾何結構的特徵之一,其通常可以用來描述該幾何結構的主要屬性。

多面體的維面编辑

在三維幾何中,多面體的維面是指所有頂點都是多面體頂點的多邊形面。在部分幾何結構中有可能存在不是維面的面[6][7]。而維面重組,或稱刻面是指找到新的維面形成新的多面體的過程,這個過程有時可以稱作星形化,並可以套用到更高維度的幾何結構。

多胞形的維面编辑

多面體組合學英语polyhedral combinatorics和一般的多胞形理論中,n維多胞形中的n − 1維元素稱為維面。維面也稱為(n − 1)維面、(n − 1)面或(n − 1)-面。而在在三維幾何學通常稱為面而不是維面[8]

单纯复形的維面编辑

单纯复形中,单纯复形的維面是一個单纯复形中最大的单纯形,且這個单纯形不是面也不是其他单纯复形的单纯形。[9]對於单纯多胞形的邊界複合體,此定義與多面體組合學一致。

多維面编辑

幾何學中,維面一詞前面若加一個整數,則代表一幾何結構中維度為該整數的元素,此概念不應與維面混淆。例如k維面代表幾何結構中維度為k的元素,又稱k面k-面k維元素而在更高維度中,有時會稱為k維胞,這一用法並未限定元素的所屬維度。[2][3][4]例如立方體的多維面包括了空多胞形(負一維面)、頂點(零維面)、邊(一維面)、正方形(二維面,一般稱面)和其本身(三維面,一般稱體)。正式地,對於一個多胞形P,多維面的定義是與一個「不與P內部相交的封閉半空間」的相交幾何結構(如交點、交線或交面等)[2][4]。多胞形中的多維面集合中同時也包含了多胞形本身和空多胞形[3][4]

負一維面编辑

 
正方形中的負一維面、零維面、一維面和二維面。

在抽象幾何學中,負一維面是多胞形中的元素集合中,不存在任何元素的子集,[10]對應到集合論中即為空集[11]且所有多胞形都含有空多胞形[12]。這種面通常稱為多胞形的極小面(least face)。[13]

零維面编辑

零維面為幾何結構中的零維元素,即頂點,通常由幾何結構的元素相交於點上形成。[14]

一維面编辑

一維面為幾何結構中的一維元素,即邊或稜,通常由二個或多個幾何結構的元素交於一線而形成。[15]

二維面编辑

二維面為幾何結構中的二維元素,通常會省略前面的維度直接稱[16]

三維或更高維度的面编辑

三維或更高維度的面通常稱為胞[10][17],更高維度的胞通常會以其維度稱呼,例如四維胞、五維胞等。[18][19]

n維面编辑

若一個多胞形其維度就是n維,則n維面為該多胞形本身,通常稱為,而在抽象幾何學中,也稱為極大面(Greatest Face)[13],並且與極小面合稱非法面(Improper Face)。[20]

(n-1)維面编辑

若一個多胞形其維度就是n維,則其(n-1)維的元素稱為維面[5]

(n-2)維面编辑

若一個多胞形其維度就是n維,則其(n-2)維的元素稱為維脊[21]

(n-3)維面编辑

若一個多胞形其維度就是n維,則其(n-3)維的元素稱為維峰(Peak)。[22]

參見编辑

參考文獻编辑

  1. ^ N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Matoušek, Jiří, Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, 2002 [2019-09-16], (原始内容存档于2019-06-10) .
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Grünbaum, Branko, Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 221 2nd, Springer: 17, 2003 [2019-09-16], (原始内容存档于2013-10-31) .
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Ziegler, Günter M., Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, 1995 [2019-09-16], (原始内容存档于2019-06-12) .
  5. ^ 5.0 5.1 Matoušek(2002)[2], p. 87; Grünbaum(2003)[3], p. 27; Ziegler(1995)[4], p. 17.
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  7. ^ 7.0 7.1 Inchbald, G. Facetting diagrams, The mathematical gazette, 90 (2006), pp. 253–261.
  8. ^ Matoušek, Jiří, Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, 2002 [2019-09-16], (原始内容存档于2019-06-10) .
  9. ^ De Loera, Jesús A.; Rambau, Jörg; Santos, Francisco, Triangulations: Structures for Algorithms and Applications, Algorithms and Computation in Mathematics 25, Springer: 493, 2010, ISBN 9783642129711 .
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  15. ^ Wenninger, Magnus J., Polyhedron Models, Cambridge University Press: 1, 1974 [2019-09-16], ISBN 9780521098595, (原始内容存档于2015-03-21) .
  16. ^ Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge University Press: 13, 1999 [2019-09-16], (原始内容存档于2019-06-13) 
  17. ^ Weisstein, Eric W. (编). Cell. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  18. ^ Ditela, polytopes and dyads. [2019-09-16]. (原始内容存档于2018-10-18). 
  19. ^ 施开达, 马利庄. 正则多胞形和 N 维空间有限旋转群理论的一些新结果. 自然科学进展: 国家重点实验室通讯. 1999, 9 (A12): 1336––1341. 
  20. ^ Araujo-Pardo, Gabriela and Hubard, Isabel and Oliveros, Deborah and Schulte, Egon. Colorful polytopes and graphs. Israel Journal of Mathematics (Springer). 2013, 195 (2): 647––675. 
  21. ^ Matoušek(2002)[2], p. 87; Ziegler(1995)[4], p. 71.
  22. ^ Nishio, Kengo and Miyazaki, Takehide. Describing polyhedral tilings and higher dimensional polytopes by sequence of their two-dimensional components. Scientific reports (Nature Publishing Group). 2017, 7: 40269. 

外部連結编辑