群作用

在一些集合上從一組到一組雙射的同態
給定一個等邊三角形,通過把所有頂點映射到另一個頂點,繞三角形中心逆時針 120°旋轉“作用”在這個三角形的頂點的集合上。
  • 数学上,对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的:的每个元素作为一个双射(或者对称作用)作用在某个集合上。在这个情况下,群称为置换群(特别是在群有限或者不是线性空间时)或者变换群(特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时)。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示(通常该集合有限),并且可以表述为置换矩阵,一般在有限的情形作此考虑-这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

定义编辑

 为一个 为一个集合,则  上的一个(左) 群作用是一个二元函数

 

(其中  的像写作 ),满足如下两条公理:

  1.   对于所有   成立
  2.  对于每个 成立 ( 代表 么元)

从这两条公理,可以得出对于每个 ,映射  的函数是一个双射,从 映射到 。因此,也可以将  上的群作用定义为从 对称群 群同态

若群作用 给定,我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合

完全一样地,可以定义一个GX上的右群作用为函数 ,满足以下公理:

  1.  
  2.  

注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g,而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用,只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用,则

 

是一左作用,因为

 

 

所以在这里,我们只考虑左群作用,因为右作用可以相应推理。

[1]群作用的种类编辑

群G作用在集合X上的作用稱為:

遞移性(Transitive):

如果X是一個非空集合,對於每對數對 x,y   X,則存在一個g G,使得 ,我們就稱此作用為遞移性。

忠實性(Faithful ):

我們就稱此作用為忠實的,如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中,換言之,就是則群G到X的置換群之中為單射。

自由性(Free):

如果給定  ,存在 ,則有著 ,則稱為此作用為自由性

正則的(Regular):

同時具有自由性以及正則性的作用稱為正則的

n-遞移性(n-transitive) :

如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素x1, ..., xn 和所有不同的y1, ..., yn, 存在一個 g 在群G 使得 gxk = yk 對所有 1 ≤ kn ,我們就稱其為n-遞移性

主要的(Primitive ):

如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block),那我們稱此作用為主要的。可以證明n-遞移性 皆為主要的。

軌道與穩定化子编辑

軌道

  的一個元素,且群  上有著一個作用,那麼 的軌道 就是指以下列方式定義的 的子集:

 

 的兩個軌道,要不彼此相等,要不然其交集就是空集合。這是因為假如兩個軌道  有一個共通元素 ,那麼就可以找到兩個 中的元素  ,使得  ,同時有 ,反之亦可推出 ,而這使得這兩個集合所有的元素都相等。

一個軌道的例子是陪集,假若  的一個子集,且定義 中元素的慣常運算規則為  上的一個作用,那麼 的陪集 ( )就是 的軌道。

不變子集

若S是X的一個子集,群G作用在X上( X 被稱作G-set),對於群G中的所有元素 g,以及所有S中的元素 x,有著  

則我們會說 S在G的作用下是封閉的,或是說,S在G作用下是不變的

不動點與穩定子群

  的一個元素,對於群 中的所有元素 而言,都有 ,那麼就稱  -不變的( -invariant)。

另外若  的一個元素,則所有使得  中的元素 構成的集合又稱 對於 的穩定子群(stabilizer subgroup of   with respect to  ),一般常常將之記作 (注意:不要將之與上面軌道的符號混淆)。

  的一個子群,因為根據定義 ,因此 的單位元 屬於 ,且假若 ,那麼 的逆元 也是 的元素,因為 

軌道-穩定點定理 與Burnside's 引理

考慮一個映射  可以證明此映射是一個雙射的函數,而這個映射的結論就是所謂的 軌道-穩定點定理  

而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是Burnside's 引理, 

西羅定理编辑

詳情請看 西羅定理

範例编辑

  • 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定义为 gx = x 对任意g属于G以及任意x属于X;换句话说,每个群元素对应 X上的恒等置换[2]


  1. ^ Stephen Lovett, Abstract Algebra: Structures and Applications. ISBN 1482248905.  缺少或|title=为空 (帮助)
  2. ^ Eie & Chang. A Course on Abstract Algebra. 2010: 145.